Để chứng minh các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của số học, đặc biệt là định lý Fermat nhỏ và tính chất của số dư.

a) Chứng minh rằng \(10^6 - 5^7\) chia hết cho 59:

Theo định lý Fermat nhỏ, nếu \(p\) là số nguyên tố và \(a\) là số nguyên không chia hết cho \(p\), thì \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\).

Ở đây, \(p = 59\), \(a = 10\) và \(b = 5\).

Ta có:
\[10^{58} \equiv 1 \pmod{59}\]
\[5^{58} \equiv 1 \pmod{59}\]

Do đó:
\[10^6 \equiv 10^6 \pmod{59}\]
\[5^7 \equiv 5^7 \pmod{59}\]

Bây giờ, ta tính \(10^6 \mod 59\) và \(5^7 \mod 59\):

\[10^6 = 1000000\]
\[1000000 \mod 59 = 1\]

\[5^7 = 78125\]
\[78125 \mod 59 = 1\]

Vậy:
\[10^6 - 5^7 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{59}\]

Do đó, \(10^6 - 5^7\) chia hết cho 59.

b) Chứng minh rằng \(8^7 - 2^{18}\) chia hết cho 14:

Ta có thể viết lại \(8\) và \(2^{18}\) dưới dạng cơ số 2:
\[8 = 2^3\]
\[8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}\]

Do đó:
\[8^7 - 2^{18} = 2^{21} - 2^{18} = 2^{18}(2^3 - 1) = 2^{18} \cdot 7\]

Rõ ràng \(2^{18} \cdot 7\) chia hết cho \(14 = 2 \cdot 7\).

Do đó, \(8^7 - 2^{18}\) chia hết cho 14.

c) Chứng minh rằng \(10^7 + 10^8 + 10^9\) chia hết cho 222:

Ta có thể phân tích \(222\) thành các thừa số nguyên tố:
\[222 = 2 \cdot 3 \cdot 37\]

Chúng ta cần chứng minh rằng \(10^7 + 10^8 + 10^9\) chia hết cho 2, 3 và 37.

- Chia hết cho 2: Rõ ràng \(10^7, 10^8, 10^9\) đều là các số chẵn, do đó tổng của chúng cũng là số chẵn và chia hết cho 2.

- Chia hết cho 3: Tổng các chữ số của \(10^7\), \(10^8\), và \(10^9\) đều là 1, do đó tổng của chúng là \(1 + 1 + 1 = 3\), chia hết cho 3.

- Chia hết cho 37: Ta tính modulo 37:
\[10^7 \mod 37 = 10\]
\[10^8 \mod 37 = 100 \mod 37 = 26\]
\[10^9 \mod 37 = 260 \mod 37 = 1\]

Do đó:
\[10^7 + 10^8 + 10^9 \equiv 10 + 26 + 1 \equiv 37 \equiv 0 \pmod{37}\]

Vậy \(10^7 + 10^8 + 10^9\) chia hết cho 37.

Kết hợp lại, \(10^7 + 10^8 + 10^9\) chia hết cho \(2 \cdot 3 \cdot 37 = 222\).

Do đó, \(10^7 + 10^8 + 10^9\) chia hết cho 222.