Để chứng minh biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) chia hết cho 10, ta sẽ phân tích biểu thức này theo modulo 10.

Trước hết, ta viết lại biểu thức:
\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\]

Ta sẽ xem xét các số hạng \(3^{n+2}\), \(2^{n+2}\), \(3^n\), và \(2^n\) theo modulo 10.

### Phân tích \(3^n\) theo modulo 10:
Chu kỳ của \(3^n\) theo modulo 10 là 4:
\[3^1 \equiv 3 \pmod{10}\]
\[3^2 \equiv 9 \pmod{10}\]
\[3^3 \equiv 27 \equiv 7 \pmod{10}\]
\[3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{10}\]
Vậy:
\[3^{4k + 1} \equiv 3 \pmod{10}\]
\[3^{4k + 2} \equiv 9 \pmod{10}\]
\[3^{4k + 3} \equiv 7 \pmod{10}\]
\[3^{4k} \equiv 1 \pmod{10}\]

### Phân tích \(2^n\) theo modulo 10:
Chu kỳ của \(2^n\) theo modulo 10 là 4:
\[2^1 \equiv 2 \pmod{10}\]
\[2^2 \equiv 4 \pmod{10}\]
\[2^3 \equiv 8 \pmod{10}\]
\[2^4 \equiv 16 \equiv 6 \pmod{10}\]
Vậy:
\[2^{4k + 1} \equiv 2 \pmod{10}\]
\[2^{4k + 2} \equiv 4 \pmod{10}\]
\[2^{4k + 3} \equiv 8 \pmod{10}\]
\[2^{4k} \equiv 6 \pmod{10}\]

### Xét biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\):
Ta sẽ xét từng trường hợp của \(n\) theo modulo 4.

#### Trường hợp 1: \(n \equiv 0 \pmod{4}\)
- \(3^n \equiv 1 \pmod{10}\)
- \(2^n \equiv 6 \pmod{10}\)
- \(3^{n+2} \equiv 9 \pmod{10}\)
- \(2^{n+2} \equiv 4 \pmod{10}\)

Biểu thức trở thành:
\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \equiv 9 - 4 + 1 - 6 \equiv 0 \pmod{10}\]

#### Trường hợp 2: \(n \equiv 1 \pmod{4}\)
- \(3^n \equiv 3 \pmod{10}\)
- \(2^n \equiv 2 \pmod{10}\)
- \(3^{n+2} \equiv 7 \pmod{10}\)
- \(2^{n+2} \equiv 8 \pmod{10}\)

Biểu thức trở thành:
\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \equiv 7 - 8 + 3 - 2 \equiv 0 \pmod{10}\]

#### Trường hợp 3: \(n \equiv 2 \pmod{4}\)
- \(3^n \equiv 9 \pmod{10}\)
- \(2^n \equiv 4 \pmod{10}\)
- \(3^{n+2} \equiv 1 \pmod{10}\)
- \(2^{n+2} \equiv 6 \pmod{10}\)

Biểu thức trở thành:
\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \equiv 1 - 6 + 9 - 4 \equiv 0 \pmod{10}\]

#### Trường hợp 4: \(n \equiv 3 \pmod{4}\)
- \(3^n \equiv 7 \pmod{10}\)
- \(2^n \equiv 8 \pmod{10}\)
- \(3^{n+2} \equiv 3 \pmod{10}\)
- \(2^{n+2} \equiv 2 \pmod{10}\)

Biểu thức trở thành:
\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \equiv 3 - 2 + 7 - 8 \equiv 0 \pmod{10}\]

### Kết luận:
Trong tất cả các trường hợp, biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) đều chia hết cho 10. Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \text{ chia hết cho } 10.\]