Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\) và đường trung tuyến \(AM\), kẻ \(HD\) vuông góc \(AB\), \(HE\) vuông góc \(AC\). Biết \(HB = 9\) cm, \(HC = 16\) cm. Chứng minh \(AM\) vuông góc \(DE\) tại \(K\) và tính \(AK\).

**Chứng minh \(AM\) vuông góc \(DE\) tại \(K\):**

1. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Vì \(HB = 9\) cm và \(HC = 16\) cm, ta có:
\[
AB = \sqrt{AH \cdot HB} = \sqrt{AH \cdot 9}
\]
\[
AC = \sqrt{AH \cdot HC} = \sqrt{AH \cdot 16}
\]
- Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}
\]
- Từ \(HB\) và \(HC\), ta có:
\[
AH = \frac{HB \cdot HC}{BC} = \frac{9 \cdot 16}{BC}
\]

2. **Chứng minh \(AM\) là trung tuyến:**
- Trung điểm \(M\) của \(BC\) có tọa độ:
\[
M = \left(\frac{B + C}{2}\right)
\]
- Vì \(AM\) là trung tuyến, \(AM\) chia \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Chứng minh \(DE\) vuông góc với \(AM\):**
- \(HD \perp AB\) và \(HE \perp AC\), nên \(D\) và \(E\) là chân đường vuông góc từ \(H\) xuống \(AB\) và \(AC\).
- Trong tam giác vuông \(ABC\), \(H\) là trực tâm, nên \(DE\) là đường thẳng nối các chân đường cao.
- Do đó, \(DE\) là đường thẳng vuông góc với \(AM\) tại điểm \(K\).

**Tính \(AK\):**

1. **Tính độ dài \(AM\):**
- Trung tuyến \(AM\) trong tam giác vuông \(ABC\) có độ dài:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]
- Với \(AB = 12\) cm và \(AC = 16\) cm, ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]
- Do đó:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 16^2 - 20^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 144 + 2 \cdot 256 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{800 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài \(AK\):**
- Vì \(AM\) vuông góc với \(DE\) tại \(K\), \(AK\) là đoạn thẳng từ \(A\) đến \(K\) trên \(AM\).
- Do \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\), và \(DE\) là đường thẳng nối các chân đường cao từ \(H\), ta có:
\[
AK = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ cm}
\]

Vậy \(AK = 5\) cm.