Để tính giá trị của biểu thức \(-\frac{3}{4} : \left(\frac{1}{4} - \frac{5}{8}\right) + \frac{3}{8} \left(\frac{4}{3} - \frac{16}{9}\right) - \frac{5}{7} \left(\frac{14}{15} - \frac{21}{10}\right)\), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận.

1. Tính \(\frac{1}{4} - \frac{5}{8}\):
\[
\frac{1}{4} = \frac{2}{8}
\]
\[
\frac{1}{4} - \frac{5}{8} = \frac{2}{8} - \frac{5}{8} = \frac{2 - 5}{8} = \frac{-3}{8}
\]

2. Tính \(-\frac{3}{4} : \frac{-3}{8}\):
\[
-\frac{3}{4} : \frac{-3}{8} = -\frac{3}{4} \times \frac{8}{-3} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{3 \times 8}{4 \times 3} = \frac{24}{12} = 2
\]

3. Tính \(\frac{4}{3} - \frac{16}{9}\):
\[
\frac{4}{3} = \frac{12}{9}
\]
\[
\frac{4}{3} - \frac{16}{9} = \frac{12}{9} - \frac{16}{9} = \frac{12 - 16}{9} = \frac{-4}{9}
\]

4. Tính \(\frac{3}{8} \left(\frac{-4}{9}\right)\):
\[
\frac{3}{8} \times \frac{-4}{9} = \frac{3 \times -4}{8 \times 9} = \frac{-12}{72} = \frac{-1}{6}
\]

5. Tính \(\frac{14}{15} - \frac{21}{10}\):
\[
\frac{14}{15} = \frac{28}{30}
\]
\[
\frac{21}{10} = \frac{63}{30}
\]
\[
\frac{14}{15} - \frac{21}{10} = \frac{28}{30} - \frac{63}{30} = \frac{28 - 63}{30} = \frac{-35}{30} = -\frac{7}{6}
\]

6. Tính \(\frac{5}{7} \left(-\frac{7}{6}\right)\):
\[
\frac{5}{7} \times -\frac{7}{6} = \frac{5 \times -7}{7 \times 6} = \frac{-35}{42} = -\frac{5}{6}
\]

7. Tổng hợp lại các kết quả:
\[
2 + \left(-\frac{1}{6}\right) - \left(-\frac{5}{6}\right) = 2 - \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 2 + \frac{4}{6} = 2 + \frac{2}{3}
\]

8. Chuyển đổi \(2 + \frac{2}{3}\) thành phân số:
\[
2 = \frac{6}{3}
\]
\[
2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}
\]

Vậy giá trị của biểu thức là \(\frac{8}{3}\).