Chúng ta sẽ giải lần lượt từng bài toán.

### Bài 1:
Cho tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \).

#### a) Chứng minh \( \Delta AHB \sim \Delta CAB \) và \( AH \cdot CB = AB \cdot AC \)

**Chứng minh:**

- Xét \( \Delta AHB \) và \( \Delta CAB \):
- \( \angle AHB = \angle CAB = 90^\circ \) (góc vuông)
- \( \angle HAB = \angle BAC \) (góc chung)

Do đó, \( \Delta AHB \sim \Delta CAB \) (góc - góc).

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AH \cdot AC = AB^2
\]
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{CB} \Rightarrow AH \cdot CB = AB \cdot AC
\]

#### b) Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \). Tứ giác \( DHEA \) là hình gì? Vì sao?

**Chứng minh:**

- \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \), do đó:
- \( \angle HDA = \angle HEA = 90^\circ \)

Vì \( DHEA \) có hai góc vuông, nên \( DHEA \) là hình chữ nhật.

#### c) Giả sử với \( AB = 9 \) cm, \( AC = 12 \) cm. Tính \( DE \)

**Giải:**

- Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

- Từ tính chất của hình chữ nhật \( DHEA \), ta có:
\[
DE = AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}
\]

#### d) Chứng minh rằng \( AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC \)

**Chứng minh:**

- \( DA = AD \), \( DB = BD \), \( EA = AE \), \( EC = CE \)
- Từ \( \Delta AHB \sim \Delta CAB \):
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AH^2 = DA \cdot DB
\]
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{CB} \Rightarrow AH^2 = EA \cdot EC
\]

Do đó, \( AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC \).

### Bài 2:
Cho tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \), trung tuyến \( AM \).

#### a) Chứng minh \( \Delta ABC \sim \Delta HBA \)

**Chứng minh:**

- Xét \( \Delta ABC \) và \( \Delta HBA \):
- \( \angle ABC = \angle HBA = 90^\circ \) (góc vuông)
- \( \angle BAC = \angle BAH \) (góc chung)

Do đó, \( \Delta ABC \sim \Delta HBA \) (góc - góc).

#### b) Giả sử \( HB = 4 \) cm, \( HC = 9 \) cm. Tính \( AB \), \( DE \)

**Giải:**

- Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):
\[
AB = \sqrt{HB^2 + AH^2} = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \text{ cm}
\]

- Từ tính chất của hình chữ nhật \( DHEA \), ta có:
\[
DE = AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 9}{\sqrt{97}} = \frac{36}{\sqrt{97}} \text{ cm}
\]

#### c) Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \) và \( AM \perp DE \)

**Chứng minh:**

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

- \( AM \) là trung tuyến của tam giác vuông \( \Delta ABC \), do đó \( AM \) là đường trung trực của \( DE \), tức là \( AM \perp DE \).

Vậy ta đã giải xong cả hai bài toán.