Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của câu hỏi.

**a) Chứng minh AE là phân giác của góc CAB và EC < EB.**

- Vì tam giác ABC vuông tại C, nên \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Gọi \( \angle BAC = \alpha \), ta có \( \angle BCA = 90^\circ - \alpha \).
- Vì AK = AC, tam giác AKC cân tại A, nên \( \angle KAC = \angle KCA = \alpha \).
- Từ K kẻ đường vuông góc với AB, cắt BC tại E, nên \( \angle AKE = 90^\circ \).
- Ta có \( \angle KAE = \angle KCA = \alpha \), do đó \( \angle KAE = \angle BAC \), nên AE là phân giác của góc CAB.

Để chứng minh EC < EB:
- Vì \( \angle AKE = 90^\circ \) và \( \angle AKE = \angle KEB = 90^\circ \), nên tam giác KEA và KEB đều vuông tại E.
- Do đó, \( KE \) là đường cao từ K xuống AB, và \( E \) nằm giữa B và C trên BC.
- Vì \( K \) nằm giữa A và B trên AB, nên \( E \) nằm giữa B và C trên BC, do đó \( EC < EB \).

**b) KE kéo dài cắt AC tại I. Chứng minh tam giác ABI cân tại A.**

- Gọi I là giao điểm của KE kéo dài và AC.
- Vì \( \angle AKE = 90^\circ \) và \( \angle KEB = 90^\circ \), nên tam giác KEA và KEB đều vuông tại E.
- Ta có \( AK = AC \), nên tam giác AKC cân tại A.
- Vì \( \angle KAE = \angle KCA = \alpha \), nên \( \angle KAI = \alpha \).
- Do đó, \( \angle BAI = \angle BAC = \alpha \), nên tam giác ABI cân tại A.

**c) Chứng minh AE là trung trực CK.**

- Vì AE là phân giác của góc CAB và \( \angle AKE = 90^\circ \), nên AE vuông góc với CK tại E.
- Do đó, AE là trung trực của CK.

**d) Gọi M là trung điểm BI. Chứng minh A, E, M thẳng hàng.**

- Vì tam giác ABI cân tại A, nên \( AI \) là đường trung trực của BI.
- Do đó, M nằm trên đường trung trực của BI.
- Vì AE là trung trực của CK và \( K \) nằm trên AB, nên \( E \) nằm trên đường trung trực của BI.
- Do đó, A, E, M thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán.