Để cân bằng phương trình phản ứng hóa học bằng cách thêm các electron, chúng ta cần xác định quá trình oxi hóa và khử, sau đó cân bằng từng nửa phản ứng và cuối cùng kết hợp chúng lại. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Viết phương trình phản ứng chưa cân bằng:**
\[
\text{KMnO}_4 + \text{HCl} \rightarrow \text{KCl} + \text{MnCl}_2 + \text{Cl}_2 + \text{H}_2\text{O}
\]

2. **Xác định quá trình oxi hóa và khử:**
- Mangan (Mn) trong \(\text{KMnO}_4\) có số oxi hóa +7 và trong \(\text{MnCl}_2\) có số oxi hóa +2.
- Clo (Cl) trong \(\text{HCl}\) có số oxi hóa -1 và trong \(\text{Cl}_2\) có số oxi hóa 0.

3. **Viết các nửa phản ứng oxi hóa và khử:**
- Quá trình khử (Mn giảm số oxi hóa từ +7 xuống +2):
\[
\text{MnO}_4^- \rightarrow \text{Mn}^{2+}
\]
- Quá trình oxi hóa (Cl tăng số oxi hóa từ -1 lên 0):
\[
\text{Cl}^- \rightarrow \text{Cl}_2
\]

4. **Cân bằng các nửa phản ứng:**
- Cân bằng nửa phản ứng khử:
\[
\text{MnO}_4^- + 8\text{H}^+ + 5e^- \rightarrow \text{Mn}^{2+} + 4\text{H}_2\text{O}
\]
- Cân bằng nửa phản ứng oxi hóa:
\[
2\text{Cl}^- \rightarrow \text{Cl}_2 + 2e^-
\]

5. **Cân bằng số electron trao đổi:**
- Nhân nửa phản ứng oxi hóa với 5 để cân bằng số electron với nửa phản ứng khử:
\[
5 \times (2\text{Cl}^- \rightarrow \text{Cl}_2 + 2e^-) \rightarrow 10\text{Cl}^- \rightarrow 5\text{Cl}_2 + 10e^-
\]

6. **Kết hợp các nửa phản ứng:**
\[
\text{MnO}_4^- + 8\text{H}^+ + 5e^- + 10\text{Cl}^- \rightarrow \text{Mn}^{2+} + 4\text{H}_2\text{O} + 5\text{Cl}_2 + 10e^-
\]

7. **Loại bỏ electron và viết phương trình tổng quát:**
\[
\text{MnO}_4^- + 8\text{H}^+ + 10\text{Cl}^- \rightarrow \text{Mn}^{2+} + 4\text{H}_2\text{O} + 5\text{Cl}_2
\]

8. **Thêm các ion và hợp chất cần thiết để hoàn thành phương trình:**
\[
\text{KMnO}_4 + 16\text{HCl} \rightarrow \text{KCl} + \text{MnCl}_2 + 5\text{Cl}_2 + 8\text{H}_2\text{O}
\]

Vậy phương trình phản ứng đã được cân bằng là:
\[
\text{KMnO}_4 + 16\text{HCl} \rightarrow \text{KCl} + \text{MnCl}_2 + 5\text{Cl}_2 + 8\text{H}_2\text{O}
\]