Để giải và biện luận hệ phương trình theo tham số \( m \), ta xét hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \\
mx + y = 3m - 1
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải hệ phương trình**

Ta nhân phương trình thứ nhất với \( m \):

\[
m(x + my) = m(m + 1) \implies mx + m^2y = m^2 + m
\]

Ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
mx + m^2y = m^2 + m \\
mx + y = 3m - 1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:

\[
(mx + m^2y) - (mx + y) = (m^2 + m) - (3m - 1)
\]

\[
m^2y - y = m^2 + m - 3m + 1
\]

\[
(m^2 - 1)y = m^2 - 2m + 1
\]

\[
(m^2 - 1)y = (m - 1)^2
\]

Nếu \( m \neq \pm 1 \):

\[
y = \frac{(m - 1)^2}{m^2 - 1} = \frac{(m - 1)^2}{(m - 1)(m + 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
mx + \frac{m - 1}{m + 1} = 3m - 1
\]

\[
mx = 3m - 1 - \frac{m - 1}{m + 1}
\]

\[
mx = \frac{(3m - 1)(m + 1) - (m - 1)}{m + 1}
\]

\[
mx = \frac{3m^2 + 3m - m - 1 - m + 1}{m + 1}
\]

\[
mx = \frac{3m^2 + m}{m + 1}
\]

\[
x = \frac{3m^2 + m}{m(m + 1)} = \frac{3m + 1}{m}
\]

**Kết luận:**

- Nếu \( m \neq \pm 1 \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

\[
\begin{cases}
x = \frac{3m + 1}{m} \\
y = \frac{m - 1}{m + 1}
\end{cases}
\]

- Nếu \( m = 1 \):

\[
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

- Nếu \( m = -1 \):

\[
\begin{cases}
x - y = 0 \\
-x + y = -4
\end{cases}
\]

Hệ phương trình vô nghiệm.

**Tóm lại:**

- Với \( m \neq \pm 1 \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- Với \( m = 1 \), hệ phương trình có vô số nghiệm.
- Với \( m = -1 \), hệ phương trình vô nghiệm.