Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}(m^2 - m)x^3 + 2mx^2 + 2x - 2 \) với \( m \) là tham số, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng câu:

a) Đạo hàm của \( f(x) \):
\[ f(x) = \frac{1}{3}(m^2 - m)x^3 + 2mx^2 + 2x - 2 \]
\[ f'(x) = (m^2 - m)x^2 + 4mx + 2 \]

Vậy đáp án a) là đúng.

b) Hàm số \( f(x) \) không có cực trị khi và chỉ khi \( m \in (-1; 0) \):
Hàm số không có cực trị khi phương trình \( f'(x) = 0 \) không có nghiệm hoặc có nghiệm kép. Xét phương trình:
\[ (m^2 - m)x^2 + 4mx + 2 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm khi và chỉ khi:
\[ \Delta = (4m)^2 - 4(m^2 - m) \cdot 2 < 0 \]
\[ 16m^2 - 8(m^2 - m) < 0 \]
\[ 16m^2 - 8m^2 + 8m < 0 \]
\[ 8m^2 + 8m < 0 \]
\[ 8m(m + 1) < 0 \]
\[ m(m + 1) < 0 \]
Điều này đúng khi \( m \in (-1; 0) \).

Vậy đáp án b) là đúng.

c) Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( -1 < m < 0 \):
Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( f'(x) \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Xét hàm \( f'(x) \):
\[ f'(x) = (m^2 - m)x^2 + 4mx + 2 \]
Để \( f'(x) \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), phương trình \( f'(x) = 0 \) không có nghiệm hoặc có nghiệm kép. Điều này đã được chứng minh ở câu b), tức là \( m \in (-1; 0) \).

Vậy đáp án c) là đúng.

d) Hàm số \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) khi \( m = -2 \):
Để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \), ta cần \( f'(1) = 0 \) và \( f''(1) > 0 \).
\[ f'(x) = (m^2 - m)x^2 + 4mx + 2 \]
\[ f'(1) = (m^2 - m) + 4m + 2 = 0 \]
\[ m^2 + 3m + 2 = 0 \]
\[ (m + 1)(m + 2) = 0 \]
\[ m = -1 \text{ hoặc } m = -2 \]

Xét \( f''(x) \):
\[ f''(x) = 2(m^2 - m)x + 4m \]
\[ f''(1) = 2(m^2 - m) + 4m \]
\[ f''(1) = 2m^2 - 2m + 4m \]
\[ f''(1) = 2m^2 + 2m \]

Với \( m = -1 \):
\[ f''(1) = 2(-1)^2 + 2(-1) = 2 - 2 = 0 \]

Với \( m = -2 \):
\[ f''(1) = 2(-2)^2 + 2(-2) = 8 - 4 = 4 > 0 \]

Vậy đáp án d) là đúng khi \( m = -2 \).

Tóm lại, tất cả các đáp án a), b), c), và d) đều đúng.