Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, ta cần thực hiện các bước sau:

Bài 1: Cho \( A = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{x - 1} \right) \left( \frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \right) \).

Bước 1: Đơn giản hóa từng biểu thức trong ngoặc.

Biểu thức thứ nhất:
\[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{x - 1} \]

Biểu thức thứ hai:
\[ \frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \]

Bước 2: Tìm mẫu số chung và thực hiện phép trừ/cộng.

Biểu thức thứ nhất:
\[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{x - 1} \]

Ta nhận thấy rằng:
\[ \sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x} - 1) \]
\[ x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \]

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức thứ nhất:
\[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]

Biểu thức thứ hai:
\[ \frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \]

Ta nhận thấy rằng:
\[ x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \]

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức thứ hai:
\[ \frac{x + 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \]

Bước 3: Thực hiện phép tính và rút gọn.

Biểu thức thứ nhất:
\[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1) - (x - 2\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1 - x + 2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \]

Biểu thức thứ hai:
\[ \frac{x + 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \]
\[ = \frac{x + 3 + 2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{x + 3 + 2\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \]

Bước 4: Nhân hai biểu thức đã rút gọn lại với nhau.

\[ A = \left( \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \right) \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right) \]
\[ = \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)^2} \]

Vậy, biểu thức \( A \) đã được phân tích thành nhân tử là:
\[ A = \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)^2} \]