Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh AC song song với BD:

- Vì Ax và By vuông góc với AB, nên góc BAC và góc ABD đều là góc vuông.
- Do đó, tam giác ABC và tam giác ABD đều là tam giác vuông tại A và B tương ứng.
- Vì AC = BD (theo giả thiết), nên tam giác ABC và tam giác ABD là hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông chung là AB.
- Theo định lý Pytago, ta có:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]
Vì AC = BD, nên:
\[ AB^2 + BC^2 = AB^2 + AD^2 \]
Suy ra:
\[ BC^2 = AD^2 \]
Do đó, BC = AD.

- Vì BC và AD là các cạnh đối diện của hình chữ nhật ABCD, nên AC song song với BD.

b) Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác ABD:

- Ta đã có tam giác ABC và tam giác ABD là hai tam giác vuông tại A và B tương ứng.
- AC = BD (theo giả thiết).
- AB là cạnh chung của hai tam giác.

Vậy tam giác ABC bằng tam giác ABD theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông (cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau).

c) Chứng minh CD vuông góc với BD:

- Vì AC song song với BD (đã chứng minh ở phần a), nên góc ACD và góc BDC là các góc so le trong.
- Do đó, góc ACD = góc BDC.
- Vì tam giác ABC và tam giác ABD là hai tam giác vuông, nên góc ACD và góc BDC đều là góc vuông.

Vậy CD vuông góc với BD.