Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE. Gọi O là trung điểm của BC.

a) Bốn điểm B, C, D, E có nằm trên một đường tròn không? Vì sao?

Để chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp trong một đường tròn. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu góc đối diện của tứ giác cộng lại bằng 180 độ.

Xét tam giác ABC nhọn với hai đường cao BD và CE. Ta có:
- BD vuông góc với AC tại D.
- CE vuông góc với AB tại E.

Xét góc \(\angle BDE\) và \(\angle BCE\):
- \(\angle BDE = 90^\circ\) (do BD vuông góc với AC).
- \(\angle BCE = 90^\circ\) (do CE vuông góc với AB).

Do đó, \(\angle BDE + \angle BCE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

Vì vậy, tứ giác BDEC nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh: DE < BC

Xét tam giác ABC nhọn với hai đường cao BD và CE. Ta có:
- BD vuông góc với AC tại D.
- CE vuông góc với AB tại E.

Do D và E là chân của các đường cao từ B và C xuống AC và AB, nên DE là đoạn thẳng nối hai chân của các đường cao trong tam giác ABC.

Trong tam giác ABC nhọn, DE là đoạn thẳng nối hai chân của các đường cao, và nó luôn nhỏ hơn cạnh BC của tam giác ABC. Điều này có thể được chứng minh bằng bất đẳng thức tam giác hoặc bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác nhọn và các đường cao.

c) Gọi I là trung điểm DE. Chứng minh: OI vuông góc với ED

Gọi I là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh rằng OI vuông góc với ED.

Xét tam giác ABC nhọn với hai đường cao BD và CE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của các đường cao).

Ta có:
- O là trung điểm của BC.
- I là trung điểm của DE.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên H cũng là trực tâm của tam giác BEC. Do đó, H là giao điểm của các đường cao của tam giác BEC, và các đường cao này cũng là các đường trung trực của các cạnh của tam giác BEC.

Vì O là trung điểm của BC và I là trung điểm của DE, nên đoạn thẳng OI là đường trung bình của hình thang DEBC (vì DE và BC song song và DE < BC).

Do đó, OI vuông góc với ED.