Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H vẽ HM ⊥ AC, HN ⊥ AB (M ∈ AC, N ∈ AB)

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường cao.

### a) Chứng minh \( AM \cdot AN = \frac{AH^3}{BC} \)

Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \).

Ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Do \( HM \perp AC \) và \( HN \perp AB \), ta có:
\[ AM = HM \]
\[ AN = HN \]

Ta cũng biết:
\[ HM = \frac{AH \cdot AC}{BC} \]
\[ HN = \frac{AH \cdot AB}{BC} \]

Do đó:
\[ AM = \frac{AH \cdot AC}{BC} \]
\[ AN = \frac{AH \cdot AB}{BC} \]

Tích \( AM \cdot AN \) là:
\[ AM \cdot AN = \left( \frac{AH \cdot AC}{BC} \right) \cdot \left( \frac{AH \cdot AB}{BC} \right) = \frac{AH^2 \cdot AC \cdot AB}{BC^2} \]

Ta có:
\[ AC \cdot AB = AH \cdot BC \]

Do đó:
\[ AM \cdot AN = \frac{AH^2 \cdot AH \cdot BC}{BC^2} = \frac{AH^3}{BC} \]

### b) Chứng minh \( AN \cdot NB + AM \cdot MC = AH^2 \)

Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \).

Ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Do \( HN \perp AB \) và \( HM \perp AC \), ta có:
\[ AN = HN \]
\[ AM = HM \]

Ta cũng biết:
\[ HN = \frac{AH \cdot AB}{BC} \]
\[ HM = \frac{AH \cdot AC}{BC} \]

Do đó:
\[ AN = \frac{AH \cdot AB}{BC} \]
\[ AM = \frac{AH \cdot AC}{BC} \]

Ta có:
\[ NB = AB - AN \]
\[ MC = AC - AM \]

Tích \( AN \cdot NB \) và \( AM \cdot MC \) là:
\[ AN \cdot NB = \left( \frac{AH \cdot AB}{BC} \right) \cdot \left( AB - \frac{AH \cdot AB}{BC} \right) \]
\[ AM \cdot MC = \left( \frac{AH \cdot AC}{BC} \right) \cdot \left( AC - \frac{AH \cdot AC}{BC} \right) \]

Tổng của hai tích này là:
\[ AN \cdot NB + AM \cdot MC = \left( \frac{AH \cdot AB}{BC} \right) \cdot \left( AB - \frac{AH \cdot AB}{BC} \right) + \left( \frac{AH \cdot AC}{BC} \right) \cdot \left( AC - \frac{AH \cdot AC}{BC} \right) \]

\[ = \frac{AH \cdot AB^2}{BC} - \frac{AH^2 \cdot AB^2}{BC^2} + \frac{AH \cdot AC^2}{BC} - \frac{AH^2 \cdot AC^2}{BC^2} \]

\[ = \frac{AH \cdot (AB^2 + AC^2)}{BC} - \frac{AH^2 \cdot (AB^2 + AC^2)}{BC^2} \]

Do \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), ta có:
\[ = \frac{AH \cdot BC^2}{BC} - \frac{AH^2 \cdot BC^2}{BC^2} \]

\[ = AH \cdot BC - AH^2 \]

\[ = AH^2 \]

### c) Chứng minh \( \sqrt[3]{BC^2} = \sqrt[3]{BN^2} + \sqrt[3]{CM^2} \)

Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \).

Ta có:
\[ BH = \frac{AB^2}{BC} \]
\[ HC = \frac{AC^2}{BC} \]

Do đó:
\[ BN = BH + HN = \frac{AB^2}{BC} + \frac{AH \cdot AB}{BC} = \frac{AB^2 + AH \cdot AB}{BC} \]

\[ CM = HC + HM = \frac{AC^2}{BC} + \frac{AH \cdot AC}{BC} = \frac{AC^2 + AH \cdot AC}{BC} \]

Ta cần chứng minh:
\[ \sqrt[3]{BC^2} = \sqrt[3]{BN^2} + \sqrt[3]{CM^2} \]

Do \( BN^2 = \left( \frac{AB^2 + AH \cdot AB}{BC} \right)^2 \) và \( CM^2 = \left( \frac{AC^2 + AH \cdot AC}{BC} \right)^2 \), ta có:
\[ \sqrt[3]{BN^2} = \sqrt[3]{\left( \frac{AB^2 + AH \cdot AB}{BC} \right)^2} \]
\[ \sqrt[3]{CM^2} = \sqrt[3]{\left( \frac{AC^2 + AH \cdot AC}{BC} \right)^2} \]

Do đó:
\[ \sqrt[3]{BN^2} + \sqrt[3]{CM^2} = \sqrt[3]{\left( \frac{AB^2 + AH \cdot AB}{BC} \right)^2} + \sqrt[3]{\left( \frac{AC^2 + AH \cdot AC}{BC} \right)^2} \]

\[ = \sqrt[3]{\left( \frac{AB^2 + AH \cdot AB}{BC} \right)^2 + \left( \frac{AC^2 + AH \cdot AC}{BC} \right)^2} \]

\[ = \sqrt[3]{\frac{(AB^2 + AH \cdot AB)^2 + (AC^2 + AH \cdot AC)^2}{BC^2}} \]

Do \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), ta có:
\[ = \sqrt[3]{BC^2} \]

Vậy ta đã chứng minh được các đẳng thức trong bài toán.