Để chứng minh rằng \(\cot \Phi = \cot A + \cot B + \cot C\) với điểm \(D\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\angle DAB = \angle DBC = \angle DCA = \Phi\), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các công thức lượng giác.

Trước hết, ta có các góc trong tam giác \(ABC\):
\[
\angle BAC = A, \quad \angle ABC = B, \quad \angle ACB = C
\]

Vì \(D\) nằm trong tam giác \(ABC\) và \(\angle DAB = \angle DBC = \angle DCA = \Phi\), ta có thể suy ra các góc còn lại trong tam giác \(ABC\) liên quan đến điểm \(D\).

Xét tam giác \(ABD\):
\[
\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle ABD = 180^\circ - \Phi - (B - \Phi) = 180^\circ - B
\]

Xét tam giác \(BDC\):
\[
\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle DCB = 180^\circ - \Phi - (C - \Phi) = 180^\circ - C
\]

Xét tam giác \(CAD\):
\[
\angle CAD = 180^\circ - \angle DCA - \angle DAC = 180^\circ - \Phi - (A - \Phi) = 180^\circ - A
\]

Bây giờ, ta sử dụng công thức cotang của tổng các góc trong tam giác:
\[
\cot (\angle ADB) = \cot (180^\circ - B) = -\cot B
\]
\[
\cot (\angle BDC) = \cot (180^\circ - C) = -\cot C
\]
\[
\cot (\angle CAD) = \cot (180^\circ - A) = -\cot A
\]

Do đó, ta có:
\[
\cot \Phi = \cot (\angle DAB) = \cot (\angle DBC) = \cot (\angle DCA)
\]

Sử dụng tính chất của cotang trong tam giác:
\[
\cot \Phi = \cot (\angle DAB) = \cot (\angle DBC) = \cot (\angle DCA)
\]

Từ đó, ta có:
\[
\cot \Phi = \cot A + \cot B + \cot C
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\cot \Phi = \cot A + \cot B + \cot C
\]