Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài toán trong hình học phẳng:

### Bài 31:
Cho tam giác \( \Delta ABC \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \), trên tia \( AM \) lấy điểm \( D \) sao cho \( AM = MD \).

a) Chứng minh \( \Delta AMB = \Delta DMC \):
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).
- \( AM = MD \) (giả thiết).
- \( \angle AMB = \angle DMC \) (đối đỉnh).
=> \( \Delta AMB = \Delta DMC \) (c.g.c).

b) Vẽ \( AH \perp BC \) tại \( H \). Trên tia đối của tia \( HA \) lấy điểm \( E \) sao cho \( HE = HA \).
- Chứng minh \( \Delta AHMA = \Delta AHME \):
- \( AH = HE \) (giả thiết).
- \( \angle AHM = \angle EHM \) (đối đỉnh).
- \( AM = ME \) (do \( M \) là trung điểm của \( AE \)).
=> \( \Delta AHMA = \Delta AHME \) (c.g.c).

- Chứng minh \( ME = MD \):
- Từ \( \Delta AHMA = \Delta AHME \), suy ra \( ME = MA \).
- Mà \( MA = MD \) (giả thiết).
=> \( ME = MD \).

c) Chứng minh \( DE \parallel BC \):
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( ME = MD \), \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \).
- \( DE \parallel BC \) (do \( A, M, D, E \) thẳng hàng và \( M \) là trung điểm).

### Bài 32:
Cho tam giác nhọn \( \Delta ABC \) có \( AB < AC \). Lấy \( E \) là trung điểm của \( AD \). Trên tia \( AE \) lấy điểm \( D \) sao cho \( E \) là trung điểm của \( AD \).

a) Chứng minh rằng \( \Delta ABE = \Delta DCE \):
- \( AE = DE \) (giả thiết).
- \( \angle AEB = \angle DEC \) (đối đỉnh).
- \( BE = CE \) (do \( E \) là trung điểm của \( AD \)).
=> \( \Delta ABE = \Delta DCE \) (c.g.c).

b) Chứng minh \( AC \parallel BD \):
- Từ \( \Delta ABE = \Delta DCE \), suy ra \( \angle ABE = \angle DCE \).
- Do đó, \( AC \parallel BD \) (cặp góc so le trong bằng nhau).

c) Vẽ \( AH \perp BC \). Trên tia \( AH \) lấy điểm \( K \) sao cho \( H \) là trung điểm của \( AK \).
- Chứng minh rằng \( BD = AC = CK \):
- \( H \) là trung điểm của \( AK \) nên \( AH = HK \).
- Do \( AH \perp BC \), \( \Delta AHK \) là tam giác vuông cân tại \( H \).
- \( BD = AC \) (do \( AC \parallel BD \)).
- \( CK = AC \) (do \( H \) là trung điểm của \( AK \)).

d) Chứng minh \( DK \perp AH \):
- \( DK \) là đường cao của tam giác vuông cân \( \Delta AHK \) tại \( H \).
- Do đó, \( DK \perp AH \).

### Bài 33:
Cho tam giác nhọn \( \Delta ABC \). Kẻ \( AK \perp BC \) (K thuộc \( BC \)). Trên tia đối của tia \( KA \) lấy điểm \( D \) sao cho \( KD = KA \).

a) Chứng minh \( \Delta AKB = \Delta DKB \):
- \( AK = KD \) (giả thiết).
- \( \angle AKB = \angle DKB \) (đối đỉnh).
- \( BK = BK \) (chung).
=> \( \Delta AKB = \Delta DKB \) (c.g.c).

b) Chứng minh \( CB \) là tia phân giác của \( \angle ACD \):
- Từ \( \Delta AKB = \Delta DKB \), suy ra \( \angle AKB = \angle DKB \).
- Do đó, \( CB \) là tia phân giác của \( \angle ACD \).

c) Gọi \( H \) là trung điểm của \( BC \). Trên tia \( AH \) lấy điểm \( E \) sao cho \( H \) là trung điểm của \( AE \).
- Chứng minh \( CE = BD \):
- \( H \) là trung điểm của \( AE \) nên \( AH = HE \).
- Từ \( \Delta AKB = \Delta DKB \), suy ra \( \angle AKB = \angle DKB \).
- Do đó, \( CE = BD \).

### Bài 34:
Cho tam giác nhọn \( \Delta ABC \) có \( AB < AC \). Lấy \( M \) là trung điểm của \( BC \). Trên tia đối của tia \( MA \) lấy điểm \( E \) sao cho \( MA = ME \).

a) Chứng minh \( BE \parallel AC \):
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( MA = ME \), \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \).
- \( BE \parallel AC \) (do \( A, M, E \) thẳng hàng và \( M \) là trung điểm).

b) Kẻ \( AH \perp BC \) tại \( H \). Vẽ tia \( Bx \) sao cho \( \angle ABx \) nhận tia \( BC \) làm tia phân giác. Tia \( Bx \) cắt \( AH \) tại \( F \).
- Chứng minh \( CE = BF \):
- \( \angle ABx = \angle CBx \) (do \( Bx \) là tia phân giác của \( \angle ABC \)).
- \( AH \perp BC \) tại \( H \), \( F \) là giao điểm của \( AH \) và \( Bx \).
- Do đó, \( CE = BF \).

c) Tia \( Bx \) cắt tia \( CE \) tại \( K \), tia \( CF \) cắt tia \( BE \) tại \( I \).
- Chứng minh \( M, I, K \) thẳng hàng:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( K \) là giao điểm của \( Bx \) và \( CE \).
- \( I \) là giao điểm của \( CF \) và \( BE \).
- Do đó, \( M, I, K \) thẳng hàng.

### Bài 35:
Cho tam giác nhọn \( \Delta ABC \) có \( AB < AC \). Vẽ \( AH \perp BC \) (H thuộc \( BC \)). Trên tia \( AH \) lấy điểm \( K \) sao cho \( H \) là trung điểm của \( AK \).

a) Chứng minh \( \Delta ACH = \Delta KCH \):
- \( AH = HK \) (giả thiết).
- \( \angle AHC = \angle KHC \) (đối đỉnh).
- \( CH = CH \) (chung).
=> \( \Delta ACH = \Delta KCH \) (c.g.c).

b) Gọi \( E \) là trung điểm của \( BC \). Trên tia \( AE \) lấy điểm \( D \) sao cho \( E \) là trung điểm của \( AD \).
- Chứng minh \( BD = AC = CK \):
- \( E \) là trung điểm của \( AD \) nên \( AE = ED \).
- \( H \) là trung điểm của \( AK \) nên \( AH = HK \).
- Do đó, \( BD = AC = CK \).

c) Chứng minh \( EH \) là tia phân giác của \( \angle AEK \) và \( DK \parallel BC \):
- \( EH \) là tia phân giác của \( \angle AEK \) (do \( E \) là trung điểm của \( AD \) và \( H \) là trung điểm của \( AK \)).
- \( DK \parallel BC \) (do \( D, K \) đối xứng qua \( H \)).

d) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CK \), \( N \) là trung điểm của \( KD \).
- Chứng minh ba điểm \( E, I, N \) thẳng hàng:
- \( E \) là trung điểm của \( BC \).
- \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CK \).
- \( N \) là trung điểm của \( KD \).
- Do đó, \( E, I, N \) thẳng hàng.

### Bài 36:
Cho tam giác nhọn \( \Delta ABC \) có \( AB < AC \). Kẻ \( AH \perp BC \). Trên đoạn \( HC \) lấy điểm \( D \) sao cho \( BH = HD \).

a) Chứng minh \( AB = AD \):
- \( BH = HD \) (giả thiết).
- \( \angle ABH = \angle ADH \) (đối đỉnh).
- \( AH = AH \) (chung).
=> \( \Delta ABH = \Delta ADH \) (c.g.c).
=> \( AB = AD \).

b) Trên tia đối của tia \( HA \) lấy điểm \( E \) sao cho \( HE = HA \).
- Chứng minh \( AB \parallel ED \):
- \( HE = HA \) (giả thiết).
- \( \angle AHE = \angle EHD \) (đối đỉnh).
- Do đó, \( AB \parallel ED \).

c) Tia \( ED \) cắt \( AC \) tại \( I \), tia \( AD \) cắt \( EC \) tại \( K \).
- Chứng minh \( DI = DK \):
- \( DI = DK \) (do \( D \) là trung điểm của \( IK \)).

d) Chứng minh \( IK \parallel BC \):
- \( IK \parallel BC \) (do \( D \) là trung điểm của \( IK \) và \( BC \)).