**Bài 12:**

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Kẻ \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\).

a) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle EBD\).

**Chứng minh:**

- Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle EBD\):
- \(BD\) là cạnh chung.
- \(AB = BE\) (giả thiết).
- \(\angle ABD = \angle EBD\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\)).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\triangle ABD = \triangle EBD\).

b) Chứng minh \(DE = AD\) và \(DE \perp BC\).

**Chứng minh:**

- Từ \(\triangle ABD = \triangle EBD\) (chứng minh ở phần a), ta có \(AD = DE\).
- Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\), nên \(BD\) cũng là đường trung trực của đoạn \(AE\) (vì \(AB = BE\) và \(\triangle ABD = \triangle EBD\)).
- Do đó, \(DE \perp BC\).

c) Chứng minh \(BD\) là đường trung trực của \(AE\).

**Chứng minh:**

- Từ phần b, ta đã chứng minh \(DE = AD\) và \(DE \perp BC\).
- Do đó, \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(AE\).

d) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = CE\). Chứng minh ba điểm \(F, D, E\) thẳng hàng.

**Chứng minh:**

- Vì \(AF = CE\) và \(CE = AB\) (do \(BE = BA\)), nên \(AF = AB\).
- Do đó, \(F\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\).
- Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AE\), nên \(D\) cũng nằm trên đường trung trực của \(AF\).
- Do đó, ba điểm \(F, D, E\) thẳng hàng.

**Bài 13:**

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AB = BE\). Tia phân giác của góc \(ACB\) cắt cạnh \(AC\) ở \(D\).

a) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle EBD\).

**Chứng minh:**

- Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle EBD\):
- \(BD\) là cạnh chung.
- \(AB = BE\) (giả thiết).
- \(\angle ABD = \angle EBD\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\)).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\triangle ABD = \triangle EBD\).

b) Chứng minh \(BD\) là đường trung trực của \(AE\).

**Chứng minh:**

- Từ \(\triangle ABD = \triangle EBD\) (chứng minh ở phần a), ta có \(AD = DE\).
- Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\), nên \(BD\) cũng là đường trung trực của đoạn \(AE\) (vì \(AB = BE\) và \(\triangle ABD = \triangle EBD\)).

c) Kẻ \(AH \perp BC\) (H thuộc BC). Chứng minh \(AH \parallel DE\).

**Chứng minh:**

- Vì \(AH \perp BC\) và \(DE \perp BC\) (chứng minh ở bài 12 phần b), nên \(AH \parallel DE\).

d) So sánh \(\angle ABC\) và \(\angle EDC\).

**Chứng minh:**

- Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\), nên \(\angle ABD = \angle DBC\).
- Do đó, \(\angle ABC = 2 \angle ABD\).
- Từ \(\triangle ABD = \triangle EBD\), ta có \(\angle ABD = \angle EBD\).
- Do đó, \(\angle EDC = \angle EBD = \angle ABD\).

Vậy \(\angle ABC = 2 \angle EDC\).

e) Gọi \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(BA\), \(M\) là trung điểm của \(KC\). Chứng minh \(B, D, M\) thẳng hàng.

**Chứng minh:**

- Vì \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(BA\), nên \(K\) nằm trên đường thẳng \(ED\).
- \(M\) là trung điểm của \(KC\), nên \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(KC\).
- Do đó, \(B, D, M\) thẳng hàng.