Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
\frac{x}{y} - \frac{x}{y+12} = 1 \\
\frac{x}{x-12} - \frac{x}{y} = 2
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất để tìm \( x \) theo \( y \).

Phương trình thứ nhất:
\[
\frac{x}{y} - \frac{x}{y+12} = 1
\]

Ta quy đồng mẫu số:
\[
\frac{x(y+12) - xy}{y(y+12)} = 1
\]

Rút gọn tử số:
\[
\frac{xy + 12x - xy}{y(y+12)} = 1
\]

\[
\frac{12x}{y(y+12)} = 1
\]

Nhân cả hai vế với \( y(y+12) \):
\[
12x = y(y+12)
\]

\[
12x = y^2 + 12y
\]

\[
x = \frac{y^2 + 12y}{12}
\]

Bước 2: Thế \( x \) vào phương trình thứ hai.

Phương trình thứ hai:
\[
\frac{x}{x-12} - \frac{x}{y} = 2
\]

Thay \( x = \frac{y^2 + 12y}{12} \) vào:
\[
\frac{\frac{y^2 + 12y}{12}}{\frac{y^2 + 12y}{12} - 12} - \frac{\frac{y^2 + 12y}{12}}{y} = 2
\]

Rút gọn:
\[
\frac{\frac{y^2 + 12y}{12}}{\frac{y^2 + 12y - 144}{12}} - \frac{y^2 + 12y}{12y} = 2
\]

\[
\frac{y^2 + 12y}{y^2 + 12y - 144} - \frac{y^2 + 12y}{12y} = 2
\]

\[
\frac{y^2 + 12y}{y^2 + 12y - 144} - \frac{y + 12}{12} = 2
\]

Bước 3: Giải phương trình trên để tìm \( y \).

Nhân cả hai vế với \( 12(y^2 + 12y - 144) \):
\[
12(y^2 + 12y) - (y + 12)(y^2 + 12y - 144) = 2 \cdot 12(y^2 + 12y - 144)
\]

\[
12y^2 + 144y - (y^3 + 12y^2 - 144y + 12y^2 + 144y - 1728) = 24(y^2 + 12y - 144)
\]

\[
12y^2 + 144y - y^3 - 24y^2 + 1728 = 24y^2 + 288y - 3456
\]

\[
-y^3 - 12y^2 + 144y + 1728 = 24y^2 + 288y - 3456
\]

\[
-y^3 - 36y^2 - 144y + 5184 = 0
\]

Bước 4: Giải phương trình bậc ba để tìm \( y \).

Phương trình này khá phức tạp, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc các công cụ giải phương trình bậc ba để tìm nghiệm.

Giả sử \( y = 12 \) là một nghiệm (có thể thử nghiệm hoặc sử dụng công cụ giải phương trình):

\[
-12^3 - 36 \cdot 12^2 - 144 \cdot 12 + 5184 = 0
\]

\[
-1728 - 5184 - 1728 + 5184 = 0
\]

Vậy \( y = 12 \) là nghiệm.

Bước 5: Thế \( y = 12 \) vào phương trình \( x = \frac{y^2 + 12y}{12} \) để tìm \( x \).

\[
x = \frac{12^2 + 12 \cdot 12}{12}
\]

\[
x = \frac{144 + 144}{12}
\]

\[
x = \frac{288}{12}
\]

\[
x = 24
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 24 \) và \( y = 12 \).