Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo luỹ thừa giảm của biến.

**Đa thức M(x):**
\[ M(x) = 2x^5 - 3x^2 + 5x^4 - 7x^3 + x^2 - \frac{1}{4}x \]

Sắp xếp lại theo luỹ thừa giảm của biến:
\[ M(x) = 2x^5 + 5x^4 - 7x^3 - 2x^2 - \frac{1}{4}x \]

**Đa thức N(x):**
\[ N(x) = 3x^4 - 2x^5 - 6x^2 - 2x^3 + x^2 - \frac{1}{4} \]

Sắp xếp lại theo luỹ thừa giảm của biến:
\[ N(x) = -2x^5 + 3x^4 - 2x^3 - 5x^2 - \frac{1}{4} \]

### b) Tính \( M(x) + N(x) \) và \( M(x) - N(x) \) và cho biết bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức tổng, hiệu vừa tính.

**Tính \( M(x) + N(x) \):**
\[ M(x) + N(x) = (2x^5 + 5x^4 - 7x^3 - 2x^2 - \frac{1}{4}x) + (-2x^5 + 3x^4 - 2x^3 - 5x^2 - \frac{1}{4}) \]
\[ = (2x^5 - 2x^5) + (5x^4 + 3x^4) + (-7x^3 - 2x^3) + (-2x^2 - 5x^2) + (-\frac{1}{4}x) + (-\frac{1}{4}) \]
\[ = 0x^5 + 8x^4 - 9x^3 - 7x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \]
\[ = 8x^4 - 9x^3 - 7x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \]

**Bậc của đa thức \( M(x) + N(x) \):** 4

**Hệ số cao nhất của \( M(x) + N(x) \):** 8

**Hệ số tự do của \( M(x) + N(x) \):** -\(\frac{1}{4}\)

**Tính \( M(x) - N(x) \):**
\[ M(x) - N(x) = (2x^5 + 5x^4 - 7x^3 - 2x^2 - \frac{1}{4}x) - (-2x^5 + 3x^4 - 2x^3 - 5x^2 - \frac{1}{4}) \]
\[ = (2x^5 + 2x^5) + (5x^4 - 3x^4) + (-7x^3 + 2x^3) + (-2x^2 + 5x^2) + (-\frac{1}{4}x) + \frac{1}{4} \]
\[ = 4x^5 + 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \]

**Bậc của đa thức \( M(x) - N(x) \):** 5

**Hệ số cao nhất của \( M(x) - N(x) \):** 4

**Hệ số tự do của \( M(x) - N(x) \):** \(\frac{1}{4}\)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.