Để chứng minh \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 30, ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho các ước nguyên tố của 30, tức là 2, 3 và 5.

1. **Chia hết cho 2:**
- Xét \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \).
- Nếu \( a \) hoặc \( b \) là số chẵn, thì \( ab \) sẽ là số chẵn và do đó chia hết cho 2.
- Nếu cả \( a \) và \( b \) đều là số lẻ, thì \( a^2 \) và \( b^2 \) đều là số lẻ, nên \( a^2 - b^2 \) là số chẵn (hiệu của hai số lẻ là số chẵn).
- Do đó, \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 2 trong mọi trường hợp.

2. **Chia hết cho 3:**
- Xét \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \).
- Nếu \( a \) hoặc \( b \) chia hết cho 3, thì \( ab \) sẽ chia hết cho 3.
- Nếu \( a \) và \( b \) không chia hết cho 3, thì \( a \) và \( b \) có thể là các số dư 1 hoặc 2 khi chia cho 3.
- Nếu \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 1 \pmod{3} \), thì \( a^2 \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b^2 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{3} \).
- Nếu \( a \equiv 2 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \), thì \( a^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{3} \).
- Nếu \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \), thì \( a^2 \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{3} \).
- Do đó, \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 3 trong mọi trường hợp.

3. **Chia hết cho 5:**
- Xét \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \).
- Nếu \( a \) hoặc \( b \) chia hết cho 5, thì \( ab \) sẽ chia hết cho 5.
- Nếu \( a \) và \( b \) không chia hết cho 5, thì \( a \) và \( b \) có thể là các số dư 1, 2, 3 hoặc 4 khi chia cho 5.
- Nếu \( a \equiv 1 \pmod{5} \) và \( b \equiv 1 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 1 \pmod{5} \) và \( b^2 \equiv 1 \pmod{5} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( a \equiv 2 \pmod{5} \) và \( b \equiv 2 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 4 \pmod{5} \) và \( b^2 \equiv 4 \pmod{5} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( a \equiv 3 \pmod{5} \) và \( b \equiv 3 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} \) và \( b^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( a \equiv 4 \pmod{5} \) và \( b \equiv 4 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5} \) và \( b^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5} \), do đó \( a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Do đó, \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 5 trong mọi trường hợp.

Vì \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 2, 3 và 5, nên nó chia hết cho \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \).

Vậy, \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 30.