Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA

Tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh AB = 15 cm và AC = 20 cm. Đầu tiên, chúng ta cần tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagore:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, \text{cm} \]

Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA, chúng ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

- Tam giác ABC vuông tại A, nên \(\angle BAC = 90^\circ\).
- Tam giác HBA vuông tại H, nên \(\angle BHA = 90^\circ\).

Do đó, \(\angle BAC = \angle BHA = 90^\circ\).

- Góc \(\angle ABC\) chung cho cả hai tam giác ABC và HBA.

Vì hai góc tương ứng bằng nhau, tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA theo trường hợp góc-góc (AA).

### b) Tính độ dài các đoạn AH, DA, DC

#### Tính độ dài đoạn AH

Để tính độ dài đoạn AH, chúng ta sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:

\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[ AH = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \, \text{cm} \]

#### Tính độ dài đoạn DA và DC

Đường phân giác BD chia cạnh AC thành hai đoạn AD và DC theo tỉ lệ của hai cạnh AB và BC. Theo định lý đường phân giác trong tam giác:

\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[ \frac{AD}{DC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \]

Gọi AD = x và DC = y, ta có:

\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \]

Vì AD + DC = AC, nên:

\[ x + y = 20 \]

Giải hệ phương trình:

\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \]
\[ x + y = 20 \]

Từ phương trình \(\frac{x}{y} = \frac{3}{5}\), ta có:

\[ x = \frac{3}{5}y \]

Thay vào phương trình \(x + y = 20\):

\[ \frac{3}{5}y + y = 20 \]
\[ \frac{3y + 5y}{5} = 20 \]
\[ \frac{8y}{5} = 20 \]
\[ 8y = 100 \]
\[ y = 12.5 \]

Do đó:

\[ x = \frac{3}{5} \cdot 12.5 = 7.5 \]

Vậy:

\[ AD = 7.5 \, \text{cm} \]
\[ DC = 12.5 \, \text{cm} \]

Tóm lại, các đoạn cần tính có độ dài như sau:

- \( AH = 12 \, \text{cm} \)
- \( AD = 7.5 \, \text{cm} \)
- \( DC = 12.5 \, \text{cm} \)