Để chứng minh rằng hai đa thức \( A \) và \( B \) không đồng thời có giá trị dương tại mỗi giá trị của \( x \) và \( y \), ta xét hai đa thức:

\[ A = 5x^4 - 7x^2 + 4xy + y^2 \]
\[ B = -9x^4 - 4xy - 7y^2 \]

Giả sử rằng tại một giá trị nào đó của \( x \) và \( y \), cả hai đa thức \( A \) và \( B \) đều có giá trị dương. Điều này có nghĩa là:

\[ A > 0 \]
\[ B > 0 \]

Xét tổng của hai đa thức \( A \) và \( B \):

\[ A + B = (5x^4 - 7x^2 + 4xy + y^2) + (-9x^4 - 4xy - 7y^2) \]
\[ A + B = 5x^4 - 9x^4 - 7x^2 + 4xy - 4xy + y^2 - 7y^2 \]
\[ A + B = -4x^4 - 7x^2 - 6y^2 \]

Ta thấy rằng:

\[ -4x^4 - 7x^2 - 6y^2 \leq 0 \]

Vì \( x^4 \geq 0 \), \( x^2 \geq 0 \) và \( y^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), nên tổng \( -4x^4 - 7x^2 - 6y^2 \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. Điều này có nghĩa là tổng của hai đa thức \( A \) và \( B \) không thể đồng thời có giá trị dương.

Do đó, hai đa thức \( A \) và \( B \) không thể đồng thời có giá trị dương tại mỗi giá trị của \( x \) và \( y \).