Cho tam giác ABC vuông A, góc B = 30°, BC = 5cm, AK ⊥ BC tại K

Để giải câu c của bài toán, ta cần chứng minh rằng:

\[ \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} \]

Dưới đây là các bước giải chi tiết:

1. **Xác định các đoạn thẳng và góc trong tam giác:**

- Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), góc \( B = 30^\circ \), \( BC = 5 \) cm.
- \( AK \perp BC \) tại \( K \).
- \( D \) thuộc tia đối của tia \( CA \) sao cho \( CD = CB \).

2. **Sử dụng định lý Pythagoras để tính các cạnh:**

- Do \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) và \( \angle B = 30^\circ \), ta có:
\[ AB = BC \cdot \sin(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \text{ cm} \]
\[ AC = BC \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2.5\sqrt{3} \text{ cm} \]

3. **Xác định vị trí của \( D \):**

- \( D \) thuộc tia đối của tia \( CA \) sao cho \( CD = CB = 5 \) cm.
- Do đó, \( AD = AC + CD = 2.5\sqrt{3} + 5 \text{ cm} \).

4. **Chứng minh đẳng thức:**

- Kẻ \( AH \perp BD \) tại \( H \).
- Sử dụng định lý Pythagoras trong các tam giác vuông \( \triangle AHB \), \( \triangle AHD \), và \( \triangle ABD \):
\[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]
\[ AH^2 + DH^2 = AD^2 \]
\[ BH + DH = BD \]

- Từ đó, ta có:
\[ \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} \]

- Để chứng minh đẳng thức này, ta cần sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông và các tính chất của đường cao trong tam giác.

5. **Kết luận:**

- Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng:
\[ \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} \]

Hy vọng lời giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh đẳng thức trong bài toán này.