Để rút gọn biểu thức \( A \), ta thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \left( \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} \right) \left( \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a + 1}} \cdot \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a - 1}} \right) \]

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức:

1. **Phần đầu tiên:**
\[ \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}^2 - 1}{2\sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}} \]

2. **Phần thứ hai:**
\[ \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a + 1}} \cdot \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a - 1}} \]

Nhân tử số và mẫu số của phần thứ hai:
\[ \frac{(a - \sqrt{a})(a + \sqrt{a})}{\sqrt{a + 1} \cdot \sqrt{a - 1}} = \frac{a^2 - a}{\sqrt{(a + 1)(a - 1)}} = \frac{a(a - 1)}{\sqrt{a^2 - 1}} = \frac{a(a - 1)}{\sqrt{(a - 1)(a + 1)}} = \frac{a(a - 1)}{\sqrt{a^2 - 1}} \]

3. **Kết hợp lại:**
\[ A = \left( \frac{a - 1}{2\sqrt{a}} \right) \left( \frac{a(a - 1)}{\sqrt{a^2 - 1}} \right) = \frac{(a - 1)^2 a}{2\sqrt{a} \sqrt{a^2 - 1}} = \frac{(a - 1)^2 a}{2\sqrt{a(a^2 - 1)}} = \frac{(a - 1)^2 a}{2a\sqrt{a - 1}} = \frac{(a - 1)^2}{2\sqrt{a - 1}} \]

### b. Tìm \( a \) để \( A = 4 \) và \( A > -6 \)

Từ biểu thức đã rút gọn:
\[ \frac{(a - 1)^2}{2\sqrt{a - 1}} = 4 \]

Giải phương trình này:
\[ (a - 1)^2 = 8\sqrt{a - 1} \]
Đặt \( t = \sqrt{a - 1} \), ta có:
\[ t^2 = a - 1 \]
Phương trình trở thành:
\[ t^4 = 8t \]
\[ t(t^3 - 8) = 0 \]
\[ t = 0 \text{ hoặc } t^3 = 8 \]
\[ t = 0 \text{ hoặc } t = 2 \]

Nếu \( t = 0 \):
\[ \sqrt{a - 1} = 0 \Rightarrow a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \]

Nếu \( t = 2 \):
\[ \sqrt{a - 1} = 2 \Rightarrow a - 1 = 4 \Rightarrow a = 5 \]

Vậy \( a = 1 \) hoặc \( a = 5 \).

Kiểm tra điều kiện \( A > -6 \):
\[ \frac{(a - 1)^2}{2\sqrt{a - 1}} > -6 \]
Biểu thức này luôn dương nên luôn thỏa mãn điều kiện \( A > -6 \).

### c. Tính \( A \) khi \( a^2 - 3 = 0 \)

Giải phương trình:
\[ a^2 - 3 = 0 \Rightarrow a^2 = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3} \text{ hoặc } a = -\sqrt{3} \]

Thay \( a = \sqrt{3} \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2\sqrt{\sqrt{3} - 1}} \]

Thay \( a = -\sqrt{3} \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{(-\sqrt{3} - 1)^2}{2\sqrt{-\sqrt{3} - 1}} \]

Tuy nhiên, \( a = -\sqrt{3} \) không thỏa mãn điều kiện của căn thức bậc hai (vì không thể lấy căn bậc hai của số âm), nên chỉ có \( a = \sqrt{3} \) là hợp lệ.

Vậy:
\[ A = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2\sqrt{\sqrt{3} - 1}} \]

Kết quả cuối cùng:
\[ A = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2\sqrt{\sqrt{3} - 1}} \]