Để rút gọn các biểu thức bằng cách đưa thừa số vào trong dấu căn, ta thực hiện các bước sau:

**Biểu thức (b):**
\[ b = \frac{1}{3} \sqrt{9 + 6x + x^2} + \frac{4x}{3} + 5 \sqrt{x} \]

1. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
\[ \frac{1}{3} \sqrt{9 + 6x + x^2} = \sqrt{\frac{9 + 6x + x^2}{9}} = \sqrt{1 + \frac{2x}{3} + \frac{x^2}{9}} \]

2. Biểu thức sau khi rút gọn:
\[ b = \sqrt{1 + \frac{2x}{3} + \frac{x^2}{9}} + \frac{4x}{3} + 5 \sqrt{x} \]

**Biểu thức (c):**
\[ c = 4 \sqrt{25a} - \frac{15}{2} \sqrt{\frac{16a}{9}} - \frac{2}{a} \sqrt{\frac{16a^2}{4}} \]

1. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
\[ 4 \sqrt{25a} = \sqrt{16 \cdot 25a} = \sqrt{400a} \]
\[ \frac{15}{2} \sqrt{\frac{16a}{9}} = \sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2 \cdot \frac{16a}{9}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 16a}{4 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{3600a}{36}} = \sqrt{100a} \]
\[ \frac{2}{a} \sqrt{\frac{16a^2}{4}} = \sqrt{\left(\frac{2}{a}\right)^2 \cdot \frac{16a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{a^2} \cdot 4a^2} = \sqrt{16} = 4 \]

2. Biểu thức sau khi rút gọn:
\[ c = \sqrt{400a} - \sqrt{100a} - 4 \]

**Biểu thức (d):**
\[ d = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \sqrt{4 - 4a + a^2} \]

1. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
\[ \frac{3}{2} \sqrt{4 - 4a + a^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot (4 - 4a + a^2)} = \sqrt{\frac{9}{4} \cdot (4 - 4a + a^2)} = \sqrt{9 - 9a + \frac{9a^2}{4}} \]

2. Biểu thức sau khi rút gọn:
\[ d = \frac{1}{2} + \sqrt{9 - 9a + \frac{9a^2}{4}} \]

Lưu ý: Các biểu thức trên đã được rút gọn bằng cách đưa thừa số vào trong dấu căn.