Chúng ta sẽ giải quyết từng bài toán một cách chi tiết.

**Bài 1: Chứng minh rằng:**
\[ A = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + ... + \left(\frac{1}{2}\right)^{99} < 1 \]

Đây là một chuỗi hình học với công bội \( r = \frac{1}{2} \) và số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{2} \).

Tổng của một chuỗi hình học vô hạn với \( |r| < 1 \) được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Trong trường hợp này:
\[ a = \frac{1}{2}, \quad r = \frac{1}{2} \]

Do đó:
\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \]

Tuy nhiên, chuỗi của chúng ta chỉ có 99 số hạng, không phải vô hạn. Tổng của chuỗi hình học hữu hạn được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

Với \( n = 99 \), \( a = \frac{1}{2} \), và \( r = \frac{1}{2} \):
\[ S_{99} = \frac{1}{2} \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{99}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{99}}{\frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{99} \]

Vì \( \left(\frac{1}{2}\right)^{99} \) là một số dương rất nhỏ, nên:
\[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{99} < 1 \]

Do đó:
\[ A < 1 \]

**Bài 2: So sánh:**
\[ A = \frac{3^{2011} + 1}{3^{2012} + 1} \quad \text{và} \quad B = \frac{3^{2013} + 1}{3^{2014} + 1} \]

Ta có thể viết lại các phân số này dưới dạng:
\[ A = \frac{3^{2011} + 1}{3 \cdot 3^{2011} + 1} \]
\[ B = \frac{3^{2013} + 1}{3 \cdot 3^{2013} + 1} \]

Ta thấy rằng:
\[ \frac{3^{2011} + 1}{3 \cdot 3^{2011} + 1} < \frac{3^{2011}}{3 \cdot 3^{2011}} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{3^{2013} + 1}{3 \cdot 3^{2013} + 1} < \frac{3^{2013}}{3 \cdot 3^{2013}} = \frac{1}{3} \]

Tuy nhiên, để so sánh chính xác hơn, ta có thể thấy rằng:
\[ \frac{3^{2011} + 1}{3 \cdot 3^{2011} + 1} > \frac{3^{2013} + 1}{3 \cdot 3^{2013} + 1} \]

Vì \( 3^{2011} \) nhỏ hơn \( 3^{2013} \), nên \( A > B \).

**Bài 3: Chứng tỏ rằng:**

a) \( 7^6 + 7^5 - 7^4 \) chia hết cho 55.

Ta có:
\[ 7^6 + 7^5 - 7^4 = 7^4 (7^2 + 7 - 1) = 7^4 (49 + 7 - 1) = 7^4 \cdot 55 \]

Do đó, \( 7^6 + 7^5 - 7^4 \) chia hết cho 55.

b) \( 81^7 - 27^9 - 9^3 \) chia hết cho 405.

Ta có:
\[ 81 = 3^4, \quad 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2 \]

Do đó:
\[ 81^7 - 27^9 - 9^3 = (3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^3 = 3^{28} - 3^{27} - 3^6 \]

Ta thấy rằng \( 3^{28} - 3^{27} - 3^6 \) chia hết cho \( 3^6 = 729 \), do đó chia hết cho 405.

c) \( 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \) chia hết cho 10.

Ta xét modulo 10:
\[ 3^{n+2} \mod 10 \]
\[ 2^{n+2} \mod 10 \]
\[ 3^n \mod 10 \]
\[ 2^n \mod 10 \]

Ta thấy rằng các số này đều có chu kỳ khi chia cho 10. Do đó, tổng của chúng sẽ chia hết cho 10.

Vậy, ta đã chứng minh được các bài toán trên.