Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P \) đạt giá trị nguyên, ta có biểu thức:

\[ P = \frac{2x + 3}{x - 1} \]

Để \( P \) là một số nguyên, tử số \( 2x + 3 \) phải chia hết cho mẫu số \( x - 1 \).

Ta đặt \( P = k \) (với \( k \) là số nguyên), khi đó:

\[ \frac{2x + 3}{x - 1} = k \]

Nhân chéo lên ta có:

\[ 2x + 3 = k(x - 1) \]

Giải phương trình này:

\[ 2x + 3 = kx - k \]

Chuyển hết các hạng tử chứa \( x \) về một vế và các hạng tử còn lại về vế kia:

\[ 2x - kx = -k - 3 \]

\[ x(2 - k) = -k - 3 \]

\[ x = \frac{-k - 3}{2 - k} \]

Để \( x \) là số nguyên, thì \(\frac{-k - 3}{2 - k}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \(-k - 3\) phải chia hết cho \(2 - k\).

Ta sẽ thử một vài giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \):

1. Nếu \( k = 1 \):

\[ x = \frac{-1 - 3}{2 - 1} = \frac{-4}{1} = -4 \]

2. Nếu \( k = 2 \):

\[ x = \frac{-2 - 3}{2 - 2} \] (không xác định vì mẫu số bằng 0)

3. Nếu \( k = 3 \):

\[ x = \frac{-3 - 3}{2 - 3} = \frac{-6}{-1} = 6 \]

4. Nếu \( k = -1 \):

\[ x = \frac{1 - 3}{2 + 1} = \frac{-2}{3} \] (không phải số nguyên)

5. Nếu \( k = -2 \):

\[ x = \frac{2 - 3}{2 + 2} = \frac{-1}{4} \] (không phải số nguyên)

Từ các giá trị thử trên, ta thấy rằng \( x = -4 \) và \( x = 6 \) là các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện để \( P \) là số nguyên.

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) đạt giá trị nguyên là \( x = -4 \) và \( x = 6 \).