Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{1}{a^{2021}} + \frac{1}{b^{2021}} + \frac{1}{c^{2021}} \) với các số \( a, b, c \) thỏa mãn \( a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 = 4abc \) và \( a^{2023} + b^{2023} + c^{2023} = 1 \), ta sẽ phân tích các điều kiện đã cho.

Trước hết, ta xét điều kiện \( a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 = 4abc \).

Giả sử \( a, b, c \) là các nghiệm của phương trình đối xứng. Một cách tự nhiên, ta có thể giả định \( a = b = c \). Khi đó, ta sẽ kiểm tra xem điều kiện này có thỏa mãn không.

Giả sử \( a = b = c \), ta thay vào điều kiện:
\[ a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 = 4abc \]
thành:
\[ a(2a)^2 + a(2a)^2 + a(2a)^2 = 4a^3 \]
\[ 4a^3 + 4a^3 + 4a^3 = 4a^3 \]
\[ 12a^3 = 4a^3 \]
Điều này chỉ đúng khi \( a = 0 \), nhưng \( a = 0 \) không thỏa mãn điều kiện \( a^{2023} + b^{2023} + c^{2023} = 1 \).

Do đó, ta cần xem xét các giá trị khác của \( a, b, c \).

Xét trường hợp đặc biệt \( a = 1, b = 1, c = -1 \):
- Thay vào điều kiện thứ nhất:
\[ 1(1 + (-1))^2 + 1((-1) + 1)^2 + (-1)(1 + 1)^2 = 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1) \]
\[ 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 = -4 \]
\[ 0 + 0 - 4 = -4 \]
Điều này không thỏa mãn điều kiện đầu tiên.

Do đó, ta cần tìm các giá trị khác của \( a, b, c \) mà thỏa mãn cả hai điều kiện.

Giả sử \( a, b, c \) là các nghiệm của phương trình đối xứng và có dạng \( a = b = c = 1 \):
- Thay vào điều kiện thứ hai:
\[ 1^{2023} + 1^{2023} + 1^{2023} = 1 \]
\[ 1 + 1 + 1 = 1 \]
Điều này không thỏa mãn điều kiện thứ hai.

Do đó, ta cần tìm các giá trị khác của \( a, b, c \) mà thỏa mãn cả hai điều kiện.

Một cách khác là sử dụng các phương pháp đại số hoặc số học để tìm các nghiệm của hệ phương trình này. Tuy nhiên, do tính chất phức tạp của hệ phương trình, việc tìm nghiệm chính xác có thể yêu cầu các phương pháp giải tích hoặc số học cao cấp hơn.

Tóm lại, để tìm giá trị của \( A \), ta cần tìm các nghiệm \( a, b, c \) thỏa mãn cả hai điều kiện đã cho. Sau đó, ta có thể tính giá trị của \( A \). Tuy nhiên, việc tìm nghiệm chính xác của hệ phương trình này có thể yêu cầu các phương pháp giải tích hoặc số học cao cấp hơn.