Để chứng minh \( MN \parallel (A'BD) \), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \( MN \) song song với mặt phẳng \( (A'BD) \). Ta sẽ làm điều này bằng cách chứng minh rằng \( MN \) song song với hai đường thẳng không đồng phẳng trong mặt phẳng \( (A'BD) \).

1. **Xác định các điểm và trung điểm:**
- \( A, B, C, D \) là các đỉnh của mặt đáy dưới của hình lập phương.
- \( A', B', C', D' \) là các đỉnh của mặt đáy trên của hình lập phương.
- \( M \) là trung điểm của \( A'B' \).
- \( N \) là trung điểm của \( DD' \).

2. **Xác định tọa độ các điểm:**
Giả sử hình lập phương có cạnh là \( a \) và tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

3. **Tọa độ các trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( A'B' \) nên tọa độ của \( M \) là:
\[
M \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, a \right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( DD' \) nên tọa độ của \( N \) là:
\[
N \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2} \right) = \left( 0, a, \frac{a}{2} \right)
\]

4. **Xác định phương trình mặt phẳng \( (A'BD) \):**
- Mặt phẳng \( (A'BD) \) đi qua các điểm \( A'(0, 0, a) \), \( B(a, 0, 0) \), và \( D(0, a, 0) \).
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (A'BD) \) có thể được xác định bằng tích có hướng của hai vector:
\[
\overrightarrow{A'B} = (a, 0, -a), \quad \overrightarrow{A'D} = (0, a, -a)
\]
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'D} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & 0 & -a \\
0 & a & -a
\end{vmatrix} = (a^2, a^2, a^2)
\]
Do đó, phương trình mặt phẳng \( (A'BD) \) là:
\[
a^2 x + a^2 y + a^2 z = a^3 \quad \text{hay} \quad x + y + z = a
\]

5. **Kiểm tra tính song song:**
- Vector chỉ phương của \( MN \) là:
\[
\overrightarrow{MN} = \left( 0 - \frac{a}{2}, a - 0, \frac{a}{2} - a \right) = \left( -\frac{a}{2}, a, -\frac{a}{2} \right)
\]
- Ta cần kiểm tra xem vector này có song song với mặt phẳng \( (A'BD) \) hay không. Một cách để làm điều này là kiểm tra xem vector chỉ phương của \( MN \) có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vector trong mặt phẳng \( (A'BD) \).

6. **Kết luận:**
- Vector \( \overrightarrow{MN} = \left( -\frac{a}{2}, a, -\frac{a}{2} \right) \) có thể được viết lại dưới dạng \( \left( -\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2} \right) \).
- Vector này có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vector trong mặt phẳng \( (A'BD) \), chứng tỏ rằng \( MN \parallel (A'BD) \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel (A'BD) \).