Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \), kẻ \( HD \) vuông góc \( AB \), \( HE \) vuông góc \( AC \) ( \( D \) thuộc \( AB \), \( E \) thuộc \( AC \)).

a) Tứ giác \( ADHE \) là hình gì?

Để xác định loại hình của tứ giác \( ADHE \), ta cần xem xét các góc và cạnh của nó.

- \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \), do đó \( \angle HDA = \angle HEA = 90^\circ \).
- \( AD \) và \( AE \) là các đoạn thẳng từ \( A \) đến \( D \) và \( E \) trên các cạnh vuông góc của tam giác vuông \( ABC \).

Vì \( \angle HDA = \angle HEA = 90^\circ \), tứ giác \( ADHE \) có hai góc vuông kề nhau tại \( D \) và \( E \). Do đó, tứ giác \( ADHE \) là một hình chữ nhật.

b) Gọi \( M, N \) là trung điểm của \( BH \) và \( CH \). Chứng minh \( DE \) vuông góc \( DM \) và \( DM \parallel EN \).

- \( M \) là trung điểm của \( BH \), nên \( BM = MH \).
- \( N \) là trung điểm của \( CH \), nên \( CN = NH \).

Xét tam giác vuông \( ABH \) với đường cao \( HD \):
- \( HD \perp AB \), nên \( D \) là chân đường cao từ \( H \) xuống \( AB \).

Xét tam giác vuông \( ACH \) với đường cao \( HE \):
- \( HE \perp AC \), nên \( E \) là chân đường cao từ \( H \) xuống \( AC \).

Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BH \) và \( CH \), ta có:
- \( DM \) là đường trung bình của tam giác \( BHD \), nên \( DM \parallel BH \) và \( DM = \frac{1}{2} BH \).
- \( EN \) là đường trung bình của tam giác \( CHE \), nên \( EN \parallel CH \) và \( EN = \frac{1}{2} CH \).

Vì \( BH \perp CH \) (do \( H \) là chân đường cao từ \( A \) trong tam giác vuông \( ABC \)), ta có:
- \( DM \parallel BH \) và \( EN \parallel CH \) nên \( DM \parallel EN \).

Để chứng minh \( DE \perp DM \):
- \( DE \) là đường nối hai chân đường cao từ \( H \) xuống \( AB \) và \( AC \).
- \( DM \parallel BH \) và \( BH \perp AC \), nên \( DM \perp AC \).

Do đó, \( DE \perp DM \).

c) Chứng minh diện tích \( AH \times BC = AB \times AC \).

Xét tam giác vuông \( ABC \) với đường cao \( AH \):
- Diện tích tam giác \( ABC \) là \( \frac{1}{2} AB \times AC \).

Diện tích tam giác \( ABC \) cũng có thể được tính bằng cách sử dụng đường cao \( AH \):
- Diện tích tam giác \( ABC \) là \( \frac{1}{2} AH \times BC \).

Vì diện tích tam giác \( ABC \) được tính bằng hai cách khác nhau nhưng đều là diện tích của cùng một tam giác, ta có:
\[ \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} AH \times BC \]

Nhân cả hai vế với 2, ta được:
\[ AB \times AC = AH \times BC \]

Vậy, ta đã chứng minh được diện tích \( AH \times BC = AB \times AC \).