Để giải bài toán này, ta cần xác định thời gian để mỗi vòi nước chảy đầy bể riêng lẻ. Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là \( x \) giờ và thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là \( y \) giờ.

1. **Tính tổng thời gian khi cả hai vòi cùng chảy:**
- Khi cả hai vòi cùng chảy, bể đầy sau \( \frac{4}{5} \) giờ.
- Lượng nước mà mỗi vòi chảy trong 1 giờ là \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{y} \).
- Tổng lượng nước mà cả hai vòi chảy trong 1 giờ là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \).
- Trong \( \frac{4}{5} \) giờ, cả hai vòi chảy đầy bể, do đó:
\[
\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{4}{5} = 1
\]
Suy ra:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4}
\]

2. **Tính thời gian khi mở vòi thứ nhất trước, sau đó mở thêm vòi thứ hai:**
- Mở vòi thứ nhất trong 9 giờ, sau đó mở thêm vòi thứ hai, và sau \( \frac{6}{5} \) giờ nữa thì đầy bể.
- Lượng nước mà vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ là \( \frac{1}{x} \), nên trong 9 giờ, vòi thứ nhất chảy được \( \frac{9}{x} \) bể.
- Khi mở thêm vòi thứ hai, cả hai vòi chảy trong \( \frac{6}{5} \) giờ, lượng nước mà cả hai vòi chảy trong thời gian này là \( \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{6}{5} \).
- Tổng lượng nước chảy vào bể là:
\[
\frac{9}{x} + \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \times \frac{6}{5} = 1
\]
Suy ra:
\[
\frac{9}{x} + \frac{6}{5} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1
\]
Thay \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4} \) vào phương trình trên:
\[
\frac{9}{x} + \frac{6}{5} \times \frac{5}{4} = 1
\]
\[
\frac{9}{x} + \frac{6}{4} = 1
\]
\[
\frac{9}{x} + \frac{3}{2} = 1
\]
\[
\frac{9}{x} = 1 - \frac{3}{2}
\]
\[
\frac{9}{x} = -\frac{1}{2}
\]
Điều này không hợp lý, do đó cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc đề bài có thể có sai sót.

Tuy nhiên, nếu không có sai sót trong đề bài, ta có thể thử lại các bước tính toán hoặc kiểm tra lại các giả thiết ban đầu.