Để tìm \( n \) thuộc tập hợp các số tự nhiên \( \mathbb{N} \) thỏa mãn hai phương trình sau:

1. \( 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = 210 \)
2. \( 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = 225 \)

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình 1: \( 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = 210 \)

Dãy số này là dãy số các số chẵn từ 2 đến \( 2n \). Tổng của dãy số này có thể được viết lại như sau:

\[ 2(1 + 2 + 3 + \ldots + n) = 210 \]

Tổng của dãy số từ 1 đến \( n \) là:

\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Do đó, phương trình trở thành:

\[ 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 210 \]

Rút gọn phương trình:

\[ n(n+1) = 210 \]

Đây là một phương trình bậc hai:

\[ n^2 + n - 210 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = -210 \):

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 840}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{841}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm 29}{2} \]

Do đó, chúng ta có hai nghiệm:

\[ n = \frac{28}{2} = 14 \]
\[ n = \frac{-30}{2} = -15 \]

Vì \( n \) phải là số tự nhiên, nên \( n = 14 \).

### Phương trình 2: \( 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = 225 \)

Dãy số này là dãy số các số lẻ từ 1 đến \( 2n-1 \). Tổng của dãy số này có thể được viết lại như sau:

\[ n^2 = 225 \]

Giải phương trình này:

\[ n = \sqrt{225} \]
\[ n = 15 \]

### Kết luận

Để \( n \) thỏa mãn cả hai phương trình, \( n \) phải bằng 14 và 15 cùng một lúc, điều này không thể xảy ra. Do đó, không có giá trị \( n \) nào thuộc tập hợp các số tự nhiên \( \mathbb{N} \) thỏa mãn cả hai phương trình cùng một lúc.