Để chứng minh \( DC = DE \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xét tam giác vuông cân \( \triangle ABC \) tại \( A \):**
- Vì \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

2. **Xét các điểm \( M \) và \( N \):**
- \( M \) nằm trên \( AB \) và \( N \) nằm trên \( AC \) sao cho \( AM = AN \).

3. **Kẻ các đường vuông góc:**
- Từ \( A \) kẻ đường vuông góc với \( BN \) cắt \( BC \) tại \( D \).
- Từ \( M \) kẻ đường vuông góc với \( BN \) cắt \( BC \) tại \( E \).

4. **Chứng minh \( DC = DE \):**

- Xét tam giác \( \triangle ABN \) và \( \triangle ACN \):
- \( AB = AC \) (do tam giác \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \)).
- \( AM = AN \) (theo giả thiết).
- \( \angle BAN = \angle CAN \) (do \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \)).
- Do đó, \( \triangle ABN \) và \( \triangle ACN \) là hai tam giác cân tại \( A \) và có \( AM = AN \).

- Xét tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \):
- \( \angle BAD = \angle CAD = 90^\circ \) (do \( AD \) vuông góc với \( BN \)).
- \( AB = AC \) (do tam giác \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \)).
- \( AD \) là chung.
- Do đó, \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \) là hai tam giác vuông cân tại \( A \).

- Xét tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACE \):
- \( \angle BAE = \angle CAE = 90^\circ \) (do \( AE \) vuông góc với \( BN \)).
- \( AB = AC \) (do tam giác \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \)).
- \( AE \) là chung.
- Do đó, \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACE \) là hai tam giác vuông cân tại \( A \).

- Từ các tam giác vuông cân trên, ta có:
- \( BD = CD \) (do \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \) vuông cân tại \( A \)).
- \( BE = CE \) (do \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACE \) vuông cân tại \( A \)).

- Vì \( D \) và \( E \) nằm trên \( BC \), và \( BD = CD \) và \( BE = CE \), nên \( D \) và \( E \) là trung điểm của \( BC \).

- Do đó, \( DC = DE \).

Vậy, ta đã chứng minh được \( DC = DE \).