Để tính tổng các phân số mà không quy đồng mẫu số, ta có thể tính từng phân số riêng lẻ rồi cộng lại.

Dưới đây là các bước tính toán:

1. \( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} \)

Ta có thể nhận thấy rằng các phân số này là một chuỗi số hạng của một cấp số nhân với công bội là \(\frac{1}{3}\).

Công thức tổng của một cấp số nhân vô hạn là:
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- \( r \) là công bội của cấp số nhân.

Ở đây, \( a = 1 \) và \( r = \frac{1}{3} \).

Tuy nhiên, vì chuỗi này không phải là vô hạn, ta sẽ tính tổng của các số hạng đã cho:

\[ S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} \]

Ta có thể cộng từng phân số lại:

\[ 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]

\[ \frac{4}{3} + \frac{1}{9} = \frac{12}{9} + \frac{1}{9} = \frac{13}{9} \]

\[ \frac{13}{9} + \frac{1}{27} = \frac{39}{27} + \frac{1}{27} = \frac{40}{27} \]

\[ \frac{40}{27} + \frac{1}{81} = \frac{120}{81} + \frac{1}{81} = \frac{121}{81} \]

Vậy tổng của các phân số là:

\[ 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{121}{81} \]

Kết quả cuối cùng là \(\frac{121}{81}\).