Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu:

**a)** Chứng minh tứ giác \(AMDN\) là hình vuông với \(EF \parallel BC\).

1. Chúng ta có \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAC\) nên \(\angle BAD = \angle DAC\).
2. Vì \(M\) và \(N\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AB\) và \(AC\), suy ra \(\angle AMD = 90^\circ\) và \(\angle AND = 90^\circ\).
3. Kết hợp với \(EF \parallel BC\), ta có các tam giác đồng dạng cần thiết để chứng minh rằng \(AM = DN\) và \(AD\) là cạnh chéo giữa hai cạnh vuông góc này.

=> Tứ giác \(AMDN\) là hình vuông.

**b)** Gọi \(H\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\). Chứng minh \(\Delta ANB\) đồng dạng với \(\Delta NFA\) và \(H\) là trung điểm của \(AEF\).

1. Áp dụng định lý cạnh tỉ lệ, ta có tỉ lệ giữa các cạnh: \(AN/AB = AN/AF\).
2. Sử dụng tính chất hình chiếu và kiểm tra tỉ lệ, có thể thực hiện các phép biến đổi hình học để chứng minh rằng \(H\) là trung điểm.

=> Chứng minh \(\Delta ANB \sim \Delta NFA\) và \(H\) là trung điểm của \(AEF\).

**c)** Gọi \(P\) là điểm trên \(AN\), \(Q\) là điểm trên \(AM\) sao cho \(AP = MQ\). Tìm vị trí của \(P\) và \(Q\) để diện tích tứ giác \(MQPN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

1. Tính diện tích tứ giác \(MQPN\) theo các biến số của \(P\) và \(Q\).
2. Áp dụng phương pháp tối ưu (có thể dùng đạo hàm) để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích này, để đi đến kết quả.

Như vậy, để thực hiện toàn bộ yêu cầu trên, ta cần sử dụng các định lý hình học, tính chất tỉ lệ của tam giác và các công cụ giải tích để tìm ra đáp án.