Để xác định các tập hợp bằng cách nêu tính chất đặc trưng, ta cần tìm ra quy luật hoặc điều kiện mà các phần tử trong tập hợp đó thỏa mãn.

**Ví dụ 1:**

- Tập hợp \( A = \{0; 1; 2; 3; 4\} \)

Tính chất đặc trưng: \( A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 0 \leq x \leq 4 \} \)

- Tập hợp \( B = \{0; 4; 8; 12; 16\} \)

Tính chất đặc trưng: \( B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 4k, k = 0, 1, 2, 3, 4 \} \)

- Tập hợp \( C = \{1; 2; 4; 8; 16\} \)

Tính chất đặc trưng: \( C = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 2^k, k = 0, 1, 2, 3, 4 \} \)

**Ví dụ 2:**

Cho tập hợp \( A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{x^2 + 2}{x} \in \mathbb{Z} \right\} \)

a) Xác định tập \( A \) bằng cách liệt kê các phần tử:

Để \( \frac{x^2 + 2}{x} \) là một số nguyên, \( x \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là \( \pm 1, \pm 2 \).

- Với \( x = 1 \): \( \frac{1^2 + 2}{1} = 3 \) (là số nguyên)
- Với \( x = -1 \): \( \frac{(-1)^2 + 2}{-1} = -3 \) (là số nguyên)
- Với \( x = 2 \): \( \frac{2^2 + 2}{2} = 3 \) (là số nguyên)
- Với \( x = -2 \): \( \frac{(-2)^2 + 2}{-2} = -3 \) (là số nguyên)

Vậy, tập \( A = \{1, -1, 2, -2\} \).

b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp \( A \) mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3:

Các tập con của \( A \) có số phần tử nhỏ hơn 3 là:

- Tập rỗng: \( \emptyset \)
- Các tập con có 1 phần tử: \( \{1\}, \{-1\}, \{2\}, \{-2\} \)
- Các tập con có 2 phần tử: \( \{1, -1\}, \{1, 2\}, \{1, -2\}, \{-1, 2\}, \{-1, -2\}, \{2, -2\} \)

Vậy, các tập con của \( A \) mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là:

\[ \emptyset, \{1\}, \{-1\}, \{2\}, \{-2\}, \{1, -1\}, \{1, 2\}, \{1, -2\}, \{-1, 2\}, \{-1, -2\}, \{2, -2\} \]