Để tính giá trị của \( P = \frac{a^3 + 2b^3 + 3c^3}{(a + 2b + 3c)^3} \) với các số thực \( a, b, c \) thỏa mãn \( 2|a - b| = 3|b - c| = 5|c - a| \), ta cần tìm mối quan hệ giữa \( a, b, c \).

Giả sử \( 2|a - b| = 3|b - c| = 5|c - a| = k \) với \( k \) là một hằng số dương.

Ta có:
\[ |a - b| = \frac{k}{2} \]
\[ |b - c| = \frac{k}{3} \]
\[ |c - a| = \frac{k}{5} \]

Xét các trường hợp \( a, b, c \) có thể có giá trị khác nhau hoặc bằng nhau. Để đơn giản, ta giả sử \( a, b, c \) là các số thực khác nhau và tìm mối quan hệ giữa chúng.

Từ các điều kiện trên, ta có:
\[ a - b = \pm \frac{k}{2} \]
\[ b - c = \pm \frac{k}{3} \]
\[ c - a = \pm \frac{k}{5} \]

Cộng các phương trình này lại:
\[ (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 \]
\[ \pm \frac{k}{2} \pm \frac{k}{3} \pm \frac{k}{5} = 0 \]

Để phương trình này có nghiệm, ta cần chọn dấu sao cho tổng bằng 0. Một cách chọn dấu hợp lý là:
\[ \frac{k}{2} - \frac{k}{3} - \frac{k}{5} = 0 \]

Giải phương trình này:
\[ \frac{k}{2} = \frac{k}{3} + \frac{k}{5} \]
\[ \frac{k}{2} = \frac{5k + 3k}{15} \]
\[ \frac{k}{2} = \frac{8k}{15} \]
\[ 15k = 16k \]
\[ k = 0 \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết \( k \) là hằng số dương. Do đó, ta cần xem xét lại giả thiết hoặc tìm cách khác để giải bài toán.

Một cách khác là giả sử \( a, b, c \) có dạng đặc biệt. Giả sử \( a = 0 \), \( b = \frac{k}{2} \), \( c = \frac{k}{5} \). Khi đó:
\[ 2|a - b| = 2 \left| 0 - \frac{k}{2} \right| = k \]
\[ 3|b - c| = 3 \left| \frac{k}{2} - \frac{k}{5} \right| = 3 \left| \frac{5k - 2k}{10} \right| = 3 \left| \frac{3k}{10} \right| = \frac{9k}{10} \]
\[ 5|c - a| = 5 \left| \frac{k}{5} - 0 \right| = k \]

Điều này cũng không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Do đó, ta cần xem xét lại cách tiếp cận.

Một cách khác là thử nghiệm với các giá trị cụ thể của \( a, b, c \) để tìm ra mối quan hệ. Tuy nhiên, do bài toán phức tạp, ta có thể cần sử dụng các phương pháp khác như giải hệ phương trình hoặc sử dụng các công cụ toán học cao cấp hơn để tìm ra mối quan hệ chính xác giữa \( a, b, c \).

Tóm lại, bài toán này yêu cầu phân tích kỹ lưỡng và có thể cần sử dụng các phương pháp toán học cao cấp hơn để giải quyết.