Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \( x > y \), ta xét hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + (m-1)y = 2 \\
(m + 1)x - y = m + 1
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ta kiểm tra điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Hệ phương trình có dạng:

\[
\begin{cases}
a_1 x + b_1 y = c_1 \\
a_2 x + b_2 y = c_2
\end{cases}
\]

Với:

\[
a_1 = 1, \quad b_1 = m-1, \quad c_1 = 2
\]
\[
a_2 = m+1, \quad b_2 = -1, \quad c_2 = m+1
\]

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của hệ số khác 0:

\[
\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1 \cdot (-1) - (m+1) \cdot (m-1)
\]

Tính \(\Delta\):

\[
\Delta = -1 - (m+1)(m-1) = -1 - (m^2 - 1) = -1 - m^2 + 1 = -m^2
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
-m^2 \neq 0 \implies m \neq 0
\]

Tiếp theo, ta giải hệ phương trình để tìm nghiệm \( x \) và \( y \). Ta sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ta nhân phương trình thứ nhất với 1 và phương trình thứ hai với \( m-1 \):

\[
\begin{cases}
x + (m-1)y = 2 \\
(m+1)x - y = m+1
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ nhất với \( m+1 \):

\[
(m+1)x + (m^2 - 1)y = 2(m+1)
\]

Giữ nguyên phương trình thứ hai:

\[
(m+1)x - y = m+1
\]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đã nhân:

\[
(m+1)x + (m^2 - 1)y - (m+1)x + y = 2(m+1) - (m+1)
\]

\[
(m^2 - 1)y + y = m+1
\]

\[
(m^2 - 1 + 1)y = m+1
\]

\[
m^2 y = m+1
\]

\[
y = \frac{m+1}{m^2}
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ nhất:

\[
x + (m-1)\left(\frac{m+1}{m^2}\right) = 2
\]

\[
x + \frac{(m-1)(m+1)}{m^2} = 2
\]

\[
x + \frac{m^2 - 1}{m^2} = 2
\]

\[
x + 1 - \frac{1}{m^2} = 2
\]

\[
x = 1 + \frac{1}{m^2}
\]

Ta có nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = 1 + \frac{1}{m^2}, \quad y = \frac{m+1}{m^2}
\]

Để \( x > y \):

\[
1 + \frac{1}{m^2} > \frac{m+1}{m^2}
\]

\[
1 > \frac{m+1 - 1}{m^2}
\]

\[
1 > \frac{m}{m^2}
\]

\[
1 > \frac{1}{m}
\]

\[
m > 1
\]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \( x > y \) là \( m > 1 \).