Để chứng minh \( AP = AQ \) trong tam giác \( ABC \) nhọn với \( H \) là trực tâm và các điểm \( P \) và \( Q \) trên các đoạn thẳng \( HB \) và \( HC \) sao cho \( \angle APC = \angle AQB = 90^\circ \), ta làm như sau:

1. **Xác định các điểm và góc:**
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), do đó \( H \) là giao điểm của các đường cao.
- \( P \) nằm trên \( HB \) và \( Q \) nằm trên \( HC \) sao cho \( \angle APC = 90^\circ \) và \( \angle AQB = 90^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**
- Vì \( H \) là trực tâm, nên \( AH \perp BC \), \( BH \perp AC \), và \( CH \perp AB \).

3. **Xét các tam giác vuông:**
- Xét tam giác \( APC \), vì \( \angle APC = 90^\circ \), nên \( AP \) là đường cao từ \( A \) đến \( PC \).
- Xét tam giác \( AQB \), vì \( \angle AQB = 90^\circ \), nên \( AQ \) là đường cao từ \( A \) đến \( QB \).

4. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Ta xét phép đối xứng qua đường thẳng \( AH \). Vì \( H \) là trực tâm, nên \( AH \) là đường cao và cũng là đường trung trực của \( BC \).
- Do đó, phép đối xứng qua \( AH \) sẽ biến điểm \( B \) thành điểm \( C \) và ngược lại.

5. **Áp dụng phép đối xứng:**
- Điểm \( P \) trên \( HB \) sẽ đối xứng với điểm \( Q \) trên \( HC \) qua \( AH \).
- Vì \( \angle APC = 90^\circ \) và \( \angle AQB = 90^\circ \), nên \( P \) và \( Q \) là các điểm đối xứng nhau qua \( AH \).

6. **Kết luận:**
- Do \( P \) và \( Q \) đối xứng nhau qua \( AH \), nên \( AP = AQ \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AP = AQ \).