Để giải hệ phương trình và tìm giá trị của \( m \), ta xét hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
(m-1)x + y = 2 \\
mx + y = m + 1
\end{cases}
\]

a) Giải hệ phương trình khi \( m = -2 \):

Thay \( m = -2 \) vào hệ phương trình, ta có:

\[
\begin{cases}
(-2-1)x + y = 2 \\
-2x + y = -2 + 1
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
-3x + y = 2 \\
-2x + y = -1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

\[
(-2x + y) - (-3x + y) = -1 - 2
\]

\[
x = -3
\]

Thay \( x = -3 \) vào phương trình thứ hai:

\[
-2(-3) + y = -1
\]

\[
6 + y = -1
\]

\[
y = -7
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = -2 \) là \( (x, y) = (-3, -7) \).

b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (thỏa mãn \( \text{Det} = -4 \)):

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Xét ma trận hệ số:

\[
\begin{vmatrix}
m-1 & 1 \\
m & 1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\text{Det} = (m-1) \cdot 1 - 1 \cdot m = m - 1 - m = -1
\]

Định thức luôn bằng -1, không phụ thuộc vào \( m \). Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \( x \) và \( y \) không phụ thuộc vào \( m \):

Từ hệ phương trình ban đầu:

\[
\begin{cases}
(m-1)x + y = 2 \\
mx + y = m + 1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

\[
((m-1)x + y) - (mx + y) = 2 - (m + 1)
\]

\[
(m-1)x - mx = 2 - m - 1
\]

\[
-x = 1 - m
\]

\[
x = m - 1
\]

Thay \( x = m - 1 \) vào phương trình thứ nhất:

\[
(m-1)(m-1) + y = 2
\]

\[
(m-1)^2 + y = 2
\]

\[
m^2 - 2m + 1 + y = 2
\]

\[
y = 1 - m^2 + 2m
\]

Vậy hệ thức liên hệ giữa \( x \) và \( y \) không phụ thuộc vào \( m \) là:

\[
x = m - 1 \quad \text{và} \quad y = 1 - m^2 + 2m
\]