Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2004} \) chia hết cho 3, 7 và 15, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của \( A \) cho từng số này.

### Chia hết cho 3:
Ta xét dãy số \( 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2004} \) theo modulo 3.

- \( 2 \equiv -1 \pmod{3} \)
- \( 2^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{3} \)
- \( 2^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \pmod{3} \)
- \( 2^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \pmod{3} \)

Như vậy, ta thấy rằng \( 2^n \) theo modulo 3 sẽ lặp lại theo chu kỳ 2: \( -1, 1 \).

Dãy \( 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2004} \) có 2004 số, và số lượng các số lẻ và chẵn là bằng nhau (1002 số lẻ và 1002 số chẵn).

Tổng của các số lẻ theo modulo 3 là:
\[ 1002 \times (-1) \equiv -1002 \equiv 0 \pmod{3} \]

Tổng của các số chẵn theo modulo 3 là:
\[ 1002 \times 1 \equiv 1002 \equiv 0 \pmod{3} \]

Vậy tổng của cả dãy là:
\[ 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3} \]

Do đó, \( A \) chia hết cho 3.

### Chia hết cho 7:
Ta xét dãy số \( 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2004} \) theo modulo 7.

- \( 2 \equiv 2 \pmod{7} \)
- \( 2^2 \equiv 4 \pmod{7} \)
- \( 2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7} \)
- \( 2^4 \equiv 2 \times 2^3 \equiv 2 \times 1 \equiv 2 \pmod{7} \)
- \( 2^5 \equiv 2 \times 2^4 \equiv 2 \times 2 \equiv 4 \pmod{7} \)
- \( 2^6 \equiv 2 \times 2^5 \equiv 2 \times 4 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7} \)

Như vậy, ta thấy rằng \( 2^n \) theo modulo 7 sẽ lặp lại theo chu kỳ 3: \( 2, 4, 1 \).

Dãy \( 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2004} \) có 2004 số, và số lượng các chu kỳ 3 là:
\[ \frac{2004}{3} = 668 \]

Tổng của mỗi chu kỳ là:
\[ 2 + 4 + 1 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7} \]

Vậy tổng của cả dãy là:
\[ 668 \times 0 \equiv 0 \pmod{7} \]

Do đó, \( A \) chia hết cho 7.

### Chia hết cho 15:
Số 15 có các ước nguyên tố là 3 và 5. Ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 3. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của \( A \) cho 5.

Ta xét dãy số \( 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2004} \) theo modulo 5.

- \( 2 \equiv 2 \pmod{5} \)
- \( 2^2 \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( 2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5} \)
- \( 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5} \)
- \( 2^5 \equiv 2 \times 2^4 \equiv 2 \times 1 \equiv 2 \pmod{5} \)

Như vậy, ta thấy rằng \( 2^n \) theo modulo 5 sẽ lặp lại theo chu kỳ 4: \( 2, 4, 3, 1 \).

Dãy \( 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2004} \) có 2004 số, và số lượng các chu kỳ 4 là:
\[ \frac{2004}{4} = 501 \]

Tổng của mỗi chu kỳ là:
\[ 2 + 4 + 3 + 1 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5} \]

Vậy tổng của cả dãy là:
\[ 501 \times 0 \equiv 0 \pmod{5} \]

Do đó, \( A \) chia hết cho 5.

Vì \( A \) chia hết cho cả 3 và 5, nên \( A \) chia hết cho 15.

### Kết luận:
Vì \( A \) chia hết cho cả 3, 7 và 15, nên \( A \) chia hết cho \( \text{LCM}(3, 7, 15) = 105 \).

Do đó, \( A \) chia hết cho 3, 7 và 15.