Cho tam giác ABC, trên cạnh BC, CA lần lượt lấy điểm D và E thỏa mãn BD/DC = CA/EA = 1/2

Dưới đây là lời giải cho các bài toán trong hình ảnh:

**17.1.**
Cho tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(BC\), \(CA\) lần lượt lấy điểm \(D\) và \(E\) thỏa mãn:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{CA}{EA} = \frac{1}{2} \]
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE\). Tính tỷ số:
\[ \frac{AO}{OD} \text{ và } \frac{BO}{OE} \]

**Lời giải:**
Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ABC\) với đường thẳng \(DE\) cắt các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\) lần lượt tại \(D\), \(E\), \(A\):
\[ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AO}{OB} = 1 \]
Vì \( \frac{BD}{DC} = \frac{1}{2} \) và \( \frac{CE}{EA} = \frac{1}{2} \), ta có:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AO}{OB} = 1 \]
\[ \frac{AO}{OB} = 4 \]
Do đó:
\[ \frac{AO}{OD} = 4 \]

**17.2.**
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Có đường trung tuyến \(BM\) và đường phân giác \(CD\) đồng quy tại \(O\). Chứng minh tổng:
\[ \frac{BC}{BH} + \frac{AC}{CH} = 1 \]

**Lời giải:**
Sử dụng tính chất của đường trung tuyến và đường phân giác trong tam giác vuông, ta có:
\[ BH = \frac{BC}{2} \]
\[ CH = \frac{AC}{2} \]
Do đó:
\[ \frac{BC}{BH} + \frac{AC}{CH} = \frac{BC}{\frac{BC}{2}} + \frac{AC}{\frac{AC}{2}} = 2 + 2 = 4 \]

**17.4.**
Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)). \(M\) là trung điểm của \(BC\). Một đường thẳng qua \(M\) song song với đường phân giác của góc \(BAC\) cắt \(AC\), \(AB\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Chứng minh rằng \(CE = BF\).

**Lời giải:**
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và đường thẳng qua \(M\) song song với đường phân giác của góc \(BAC\), nên \(E\) và \(F\) là các điểm đối xứng qua \(M\). Do đó:
\[ CE = BF \]

**17.5.**
Cho tam giác \(ABC\) lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(AB\) và điểm \(F\) thuộc cạnh \(AC\). Gọi \(M\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để \(EF\) song song với \(BC\) là \(AM\), \(BF\) và \(CE\) đồng quy.

**Lời giải:**
Điều kiện cần và đủ để \(EF\) song song với \(BC\) là \(AM\), \(BF\) và \(CE\) đồng quy tại một điểm.

**17.6.**
Cho tam giác \(ABC\). Số trung tuyến \(AD\). Trên \(AD\) lấy điểm \(K\) sao cho:
\[ \frac{AK}{KD} = 3 \]
Hỏi đường thẳng \(BK\) chia tam giác \(ABC\) theo tỉ số nào?

**Lời giải:**
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Theo tính chất của trọng tâm, ta có:
\[ \frac{AG}{GD} = 2 \]
Do đó, \(K\) chia \(AD\) theo tỉ số:
\[ \frac{AK}{KD} = 3 \]
Suy ra, \(BK\) chia tam giác \(ABC\) theo tỉ số:
\[ \frac{BK}{KC} = 3 \]