Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

### Phần a) Chứng minh rằng \( \angle BEC = 90^\circ \)

**Chứng minh:**

1. **Tam giác ABC vuông tại A**:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên \( \angle BAC = 90^\circ \).

2. **Đường cao AH**:
- AH là đường cao từ A xuống BC, nên \( AH \perp BC \).

3. **Điểm D trên tia HC sao cho HD = HA**:
- Vì D nằm trên tia HC và HD = HA, nên D là điểm đối xứng của H qua điểm C.

4. **Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E**:
- Gọi đường vuông góc với BC tại D là DE. Vì DE \(\perp\) BC và D nằm trên BC, nên DE là đường cao từ D xuống AC.

5. **Chứng minh \( \angle BEC = 90^\circ \)**:
- Xét tam giác ADE, vì DE \(\perp\) AC tại E, nên \( \angle ADE = 90^\circ \).
- Trong tam giác ABC, \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle BEC = 90^\circ \) (vì E là giao điểm của hai đường cao DE và AC).

### Phần b) Tính số đo góc \( \angle BEC \)

**Kết quả:**

- Từ phần a, ta đã chứng minh rằng \( \angle BEC = 90^\circ \).

### Phần c) Chứng minh: \( \frac{GB}{BC} = \frac{HD}{AH + HC} \)

**Chứng minh:**

1. **Gọi M là trung điểm của đoạn BE**:
- Vì M là trung điểm của BE, nên \( BM = ME \).

2. **Tia AM cắt BC tại G**:
- Gọi G là giao điểm của tia AM và BC.

3. **Chứng minh \( \frac{GB}{BC} = \frac{HD}{AH + HC} \)**:
- Xét tam giác ADE, vì DE \(\perp\) AC tại E, nên \( \angle ADE = 90^\circ \).
- Từ phần a, ta có \( \angle BEC = 90^\circ \).
- Do đó, tam giác BEC là tam giác vuông tại E.
- Vì M là trung điểm của BE, nên AM là đường trung tuyến của tam giác vuông BEC.
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, do đó \( AM = \frac{1}{2} BC \).

4. **Tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Vì G là giao điểm của AM và BC, nên \( \frac{GB}{BC} = \frac{AM}{BC} \).
- Từ trên, ta có \( AM = \frac{1}{2} BC \), do đó \( \frac{GB}{BC} = \frac{1}{2} \).

5. **Tỉ lệ đoạn thẳng HD và AH + HC**:
- Vì HD = HA và D là điểm đối xứng của H qua C, nên \( HC = 2HA \).
- Do đó, \( AH + HC = AH + 2HA = 3HA \).
- Từ đó, \( \frac{HD}{AH + HC} = \frac{HA}{3HA} = \frac{1}{3} \).

6. **So sánh tỉ lệ**:
- Từ trên, ta có \( \frac{GB}{BC} = \frac{1}{2} \) và \( \frac{HD}{AH + HC} = \frac{1}{3} \).
- Tuy nhiên, có sự khác biệt giữa hai tỉ lệ này, điều này cho thấy có thể có sai sót trong lập luận hoặc giả thiết ban đầu.

Do đó, cần xem xét lại các bước chứng minh hoặc giả thiết để đảm bảo tính chính xác của bài toán.