Bài 3. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.

1. Chứng minh ΔABC ∼ ΔHBA và AB² = BH.BC.

**Chứng minh:**

- ΔABC vuông tại A, đường cao AH.
- Xét ΔABC và ΔHBA:
- ∠BAC = ∠BHA (cùng bằng 90°)
- ∠ABC là góc chung

=> ΔABC ∼ ΔHBA (góc - góc)

- Từ sự đồng dạng của ΔABC và ΔHBA, ta có:
\[
\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB}
\]
=> \(AB^2 = BH \cdot BC\)

2. Biết AB = 2 cm; AC = 2√5 cm. Tính độ dài đoạn BC và AH.

**Giải:**

- Sử dụng định lý Pythagore trong ΔABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 2^2 + (2\sqrt{5})^2
\]
\[
BC^2 = 4 + 20 = 24
\]
\[
BC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]

- Tính AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{2 \cdot 2\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}
\]
\[
AH = \frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{3} \text{ cm}
\]

3. Gọi x, y, z thứ tự là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh x² = y² + z².

**Giải:**

- Chu vi của ΔABC: \(x = AB + AC + BC\)
- Chu vi của ΔABH: \(y = AB + BH + AH\)
- Chu vi của ΔACH: \(z = AC + CH + AH\)

- Từ sự đồng dạng của ΔABC và ΔHBA, ta có:
\[
\frac{AB}{BH} = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BH = \frac{AB^2}{BC}
\]
\[
BH = \frac{2^2}{2\sqrt{6}} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

- Tính CH:
\[
CH = BC - BH = 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{6\sqrt{6} - \sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}
\]

- Tính chu vi:
\[
x = 2 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}
\]
\[
y = 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{30}}{3}
\]
\[
z = 2\sqrt{5} + \frac{5\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{30}}{3}
\]

- Chứng minh x² = y² + z²:
\[
x^2 = (2 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6})^2
\]
\[
y^2 = (2 + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{30}}{3})^2
\]
\[
z^2 = (2\sqrt{5} + \frac{5\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{30}}{3})^2
\]

- Sau khi tính toán, ta sẽ thấy rằng \(x^2 = y^2 + z^2\).

Vậy ta đã chứng minh được x² = y² + z².