Cho hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
mx + 4y = 9 \\
x + my = 8
\end{cases} \]

a) Giải hệ phương trình khi \( m = 1 \):

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình, ta có:
\[ \begin{cases}
x + 4y = 9 \\
x + y = 8
\end{cases} \]

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
\[ (x + 4y) - (x + y) = 9 - 8 \]
\[ 3y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{3} \]

Thay \( y = \frac{1}{3} \) vào phương trình \( x + y = 8 \):
\[ x + \frac{1}{3} = 8 \]
\[ x = 8 - \frac{1}{3} \]
\[ x = \frac{24}{3} - \frac{1}{3} \]
\[ x = \frac{23}{3} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là \( (x, y) = \left( \frac{23}{3}, \frac{1}{3} \right) \).

b) Với giá trị nào của \( m \) để hệ có nghiệm \( (-1 ; 3) \):

Thay \( x = -1 \) và \( y = 3 \) vào hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
m(-1) + 4(3) = 9 \\
-1 + m(3) = 8
\end{cases} \]

Giải phương trình thứ nhất:
\[ -m + 12 = 9 \]
\[ -m = 9 - 12 \]
\[ -m = -3 \]
\[ m = 3 \]

Kiểm tra lại với phương trình thứ hai:
\[ -1 + 3m = 8 \]
\[ -1 + 3(3) = 8 \]
\[ -1 + 9 = 8 \]
\[ 8 = 8 \]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ có nghiệm \( (-1 ; 3) \) là \( m = 3 \).

c) Với giá trị nào của \( m \) thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm:

Hệ phương trình có dạng:
\[ \begin{cases}
mx + 4y = 9 \\
x + my = 8
\end{cases} \]

Để hệ có nghiệm duy nhất, định thức của hệ số phải khác 0:
\[ \Delta = \begin{vmatrix}
m & 4 \\
1 & m
\end{vmatrix} = m^2 - 4 \]

Để hệ có nghiệm duy nhất:
\[ m^2 - 4 \neq 0 \]
\[ m^2 \neq 4 \]
\[ m \neq \pm 2 \]

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi \( m \neq \pm 2 \).

Để hệ vô nghiệm, định thức của hệ số phải bằng 0 và hệ số tự do không bằng 0:
\[ m^2 - 4 = 0 \]
\[ m^2 = 4 \]
\[ m = \pm 2 \]

Với \( m = 2 \):
\[ \begin{cases}
2x + 4y = 9 \\
x + 2y = 8
\end{cases} \]

Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[ \begin{cases}
2x + 4y = 9 \\
2x + 4y = 16
\end{cases} \]

Rõ ràng \( 9 \neq 16 \), nên hệ vô nghiệm.

Với \( m = -2 \):
\[ \begin{cases}
-2x + 4y = 9 \\
x - 2y = 8
\end{cases} \]

Nhân phương trình thứ hai với -2:
\[ \begin{cases}
-2x + 4y = 9 \\
-2x + 4y = -16
\end{cases} \]

Rõ ràng \( 9 \neq -16 \), nên hệ vô nghiệm.

Vậy hệ vô nghiệm khi \( m = \pm 2 \).