Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các định lý và công thức trong tam giác vuông.

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Đặt BH = x và CH = y:**
Theo đề bài, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{HB}{HC} = \frac{9}{16}
\]
\[
\frac{x}{y} = \frac{9}{16}
\]
Từ đó, ta có:
\[
x = \frac{9}{16}y
\]

3. **Tổng độ dài BH và CH:**
Ta có:
\[
BH + CH = BC
\]
\[
x + y = 10
\]

4. **Thay x = \frac{9}{16}y vào phương trình trên:**
\[
\frac{9}{16}y + y = 10
\]
\[
\frac{9y + 16y}{16} = 10
\]
\[
\frac{25y}{16} = 10
\]
\[
25y = 160
\]
\[
y = \frac{160}{25} = 6.4 \text{ cm}
\]

5. **Tính BH:**
\[
x = \frac{9}{16}y = \frac{9}{16} \times 6.4 = 3.6 \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài của \( BH \) và \( CH \) lần lượt là:
\[
BH = 3.6 \text{ cm}
\]
\[
CH = 6.4 \text{ cm}
\]