Để tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \( x \) khi biết \( \cos x = -\frac{5}{13} \) và \( 180^\circ < x < 270^\circ \), ta làm như sau:

1. **Tính \( \sin x \):**
Ta biết rằng:
\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]
Thay \( \cos x = -\frac{5}{13} \) vào, ta có:
\[
\sin^2 x + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 x + \frac{25}{169} = 1
\]
\[
\sin^2 x = 1 - \frac{25}{169}
\]
\[
\sin^2 x = \frac{169}{169} - \frac{25}{169}
\]
\[
\sin^2 x = \frac{144}{169}
\]
\[
\sin x = \pm \frac{12}{13}
\]
Vì \( x \) nằm trong khoảng \( 180^\circ < x < 270^\circ \) (góc phần tư thứ ba), nên \( \sin x \) âm:
\[
\sin x = -\frac{12}{13}
\]

2. **Tính \( \tan x \):**
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}
\]

3. **Tính \( \cot x \):**
\[
\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}
\]

4. **Kiểm tra các đáp án:**

a) \( \sin x < 0 \): Đúng, vì \( \sin x = -\frac{12}{13} \).

b) \( \tan x = \frac{12}{5} \): Đúng, vì \( \tan x = \frac{12}{5} \).

c) \( \cot x = \frac{5}{12} \): Đúng, vì \( \cot x = \frac{5}{12} \).

d) \( \sin x \cos x = -\frac{12}{13} \cdot -\frac{5}{13} = \frac{60}{169} \): Sai, vì \( \sin x \cos x = \frac{60}{169} \), không phải \( \frac{12}{13} \).

Vậy các đáp án đúng là: a, b, c. Đáp án d là sai.