Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho các biểu thức \( A \) và \( B \) là các số nguyên, ta cần phân tích từng biểu thức một.

### a) \( A = \frac{x+5}{x+1} \)

Để \( A \) là một số nguyên, tử số \( x+5 \) phải chia hết cho mẫu số \( x+1 \). Điều này có nghĩa là:

\[ \frac{x+5}{x+1} = k \]

với \( k \) là một số nguyên. Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[ x + 5 = k(x + 1) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ x + 5 = kx + k \]
\[ x - kx = k - 5 \]
\[ x(1 - k) = k - 5 \]
\[ x = \frac{k - 5}{1 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, \( \frac{k - 5}{1 - k} \) phải là một số nguyên. Ta có thể kiểm tra các giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \):

1. Nếu \( k = 1 \):

\[ x = \frac{1 - 5}{1 - 1} \]

Điều này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. Nếu \( k \neq 1 \):

\[ x = \frac{k - 5}{1 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, \( k - 5 \) phải chia hết cho \( 1 - k \). Ta có thể thử một vài giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 2 \):

\[ x = \frac{2 - 5}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3 \]

- Nếu \( k = 3 \):

\[ x = \frac{3 - 5}{1 - 3} = \frac{-2}{-2} = 1 \]

- Nếu \( k = 4 \):

\[ x = \frac{4 - 5}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] (không phải số nguyên)

- Nếu \( k = 0 \):

\[ x = \frac{0 - 5}{1 - 0} = -5 \]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) là \( x = 3, 1, -5 \).

### b) \( B = \frac{2x+4}{x+3} \)

Để \( B \) là một số nguyên, tử số \( 2x + 4 \) phải chia hết cho mẫu số \( x + 3 \). Điều này có nghĩa là:

\[ \frac{2x + 4}{x + 3} = m \]

với \( m \) là một số nguyên. Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[ 2x + 4 = m(x + 3) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ 2x + 4 = mx + 3m \]
\[ 2x - mx = 3m - 4 \]
\[ x(2 - m) = 3m - 4 \]
\[ x = \frac{3m - 4}{2 - m} \]

Để \( x \) là một số nguyên, \( \frac{3m - 4}{2 - m} \) phải là một số nguyên. Ta có thể kiểm tra các giá trị của \( m \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \):

1. Nếu \( m = 2 \):

\[ x = \frac{3(2) - 4}{2 - 2} \]

Điều này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. Nếu \( m \neq 2 \):

\[ x = \frac{3m - 4}{2 - m} \]

Để \( x \) là một số nguyên, \( 3m - 4 \) phải chia hết cho \( 2 - m \). Ta có thể thử một vài giá trị của \( m \):

- Nếu \( m = 1 \):

\[ x = \frac{3(1) - 4}{2 - 1} = \frac{3 - 4}{1} = -1 \]

- Nếu \( m = 3 \):

\[ x = \frac{3(3) - 4}{2 - 3} = \frac{9 - 4}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \]

- Nếu \( m = 0 \):

\[ x = \frac{3(0) - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) là \( x = -1, -5, -2 \).

### Kết luận:

- Các giá trị nguyên của \( x \) để \( A = \frac{x+5}{x+1} \) là số nguyên là: \( x = 3, 1, -5 \).
- Các giá trị nguyên của \( x \) để \( B = \frac{2x+4}{x+3} \) là số nguyên là: \( x = -1, -5, -2 \).