Để giải bài toán này, ta gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là \( x \) giờ và thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là \( y \) giờ.

1. Khi hai vòi cùng chảy, thời gian đầy bể là 4 giờ:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}
\]

2. Khi vòi I chảy một mình trong 1 giờ, sau đó cả hai vòi cùng chảy trong 3 giờ nữa thì đầy \(\frac{5}{6}\) bể:
\[
\frac{1}{x} + 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{5}{6}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{1}{x}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{1}{x} + 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{4} - \frac{1}{x} \right) = \frac{5}{6}
\]
\[
\frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{6}
\]
\[
\frac{1}{x} + \frac{3}{4} = \frac{5}{6}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{3}{4}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{12}
\]
\[
x = 12
\]

Thay \( x = 12 \) vào phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{2}{12}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{6}
\]
\[
y = 6
\]

Vậy thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể là:
- Vòi I: 12 giờ
- Vòi II: 6 giờ