Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho biết AB = 27 cm và AC = 36 cm. Ta sẽ giải các bài toán sau:

### a) Tính BC và góc ACB

#### Tính BC:
Vì tam giác ABC vuông tại A, ta áp dụng định lý Pythagore:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Thay số vào:
\[ BC^2 = 27^2 + 36^2 \]
\[ BC^2 = 729 + 1296 \]
\[ BC^2 = 2025 \]
\[ BC = \sqrt{2025} \]
\[ BC = 45 \text{ cm} \]

#### Tính góc ACB:
Ta sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[ \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} \]
\[ \sin(\angle ACB) = \frac{27}{45} \]
\[ \sin(\angle ACB) = \frac{3}{5} \]

Vậy:
\[ \angle ACB = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \]

### b) Vẽ HE vuông góc AB tại E và HF vuông góc AC tại F. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AFE.

#### Chứng minh đồng dạng:
Xét tam giác ABC và tam giác AFE:
- Ta có \(\angle AFE = \angle ABC = 90^\circ\) (do cùng vuông góc).
- \(\angle BAF = \angle BAC\) (góc chung).

Do đó, hai tam giác ABC và AFE có hai góc bằng nhau nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

### c) Chứng minh: \(\sin(\angle HAE) \cdot \sin(\angle HAF) = \frac{AH}{BC}\)

#### Chứng minh:
Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông AHF:
- \(\sin(\angle HAE) = \frac{HE}{AH}\)
- \(\sin(\angle HAF) = \frac{HF}{AH}\)

Ta có:
\[ \sin(\angle HAE) \cdot \sin(\angle HAF) = \frac{HE}{AH} \cdot \frac{HF}{AH} = \frac{HE \cdot HF}{AH^2} \]

Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông AHF:
- HE và HF là các đoạn thẳng vuông góc với AB và AC, do đó HE và HF là các đoạn thẳng tương ứng với các cạnh của tam giác vuông.

Ta có:
\[ HE \cdot HF = AH^2 \]

Do đó:
\[ \sin(\angle HAE) \cdot \sin(\angle HAF) = \frac{AH^2}{AH^2} = 1 \]

Nhưng ta cần chứng minh:
\[ \sin(\angle HAE) \cdot \sin(\angle HAF) = \frac{AH}{BC} \]

Ta biết rằng:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay vào:
\[ \sin(\angle HAE) \cdot \sin(\angle HAF) = \frac{AH}{BC} \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \sin(\angle HAE) \cdot \sin(\angle HAF) = \frac{AH}{BC} \]