Gọi số chi tiết máy tổ I sản xuất trong tháng đầu là \( x \) và số chi tiết máy tổ II sản xuất trong tháng đầu là \( y \).

Theo đề bài, ta có phương trình:
\[ x + y = 300 \]

Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 25%, tức là sản xuất được \( x + 0.25x = 1.25x \) chi tiết máy.
Tổ II sản xuất vượt mức 20%, tức là sản xuất được \( y + 0.20y = 1.20y \) chi tiết máy.

Tổng số chi tiết máy cả hai tổ sản xuất trong tháng thứ hai là:
\[ 1.25x + 1.20y = 370 \]

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 300 \\
1.25x + 1.20y = 370
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này, ta nhân phương trình đầu tiên với 1.25:
\[ 1.25x + 1.25y = 375 \]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đã nhân:
\[ (1.25x + 1.25y) - (1.25x + 1.20y) = 375 - 370 \]
\[ 0.05y = 5 \]
\[ y = 100 \]

Thay \( y = 100 \) vào phương trình đầu tiên:
\[ x + 100 = 300 \]
\[ x = 200 \]

Vậy trong tháng đầu, tổ I sản xuất được 200 chi tiết máy và tổ II sản xuất được 100 chi tiết máy.